Yra keletas matematinių savybių, kurios naudojamos statistika ir tikimybė; dvi iš jų, komutacinės ir asociatyviosios savybės, paprastai yra susijusios su pagrindine aritmetika sveikieji skaičiai, racionalumas ir realieji skaičiai, nors jie taip pat rodomi sudėtingesnėje matematikoje.
Šios savybės - komutacinė ir asociatyvioji - yra labai panašios ir gali būti lengvai maišomos. Dėl šios priežasties svarbu suprasti skirtumą tarp šių dviejų.
Komutacinė savybė susijusi su tam tikrų matematinių operacijų tvarka. Dvejetainėje operacijoje, kuri apima tik du elementus, tai gali būti parodyta lygtimi a + b = b + a. Operacija yra komutacinė, nes elementų tvarka neturi įtakos operacijos rezultatui. Kita vertus, asociatyvioji savybė susijusi su operacijos elementų grupavimu. Tai galima parodyti lygtimi (a + b) + c = a + (b + c). Elementų grupavimas, kaip nurodyta skliausteliuose, neturi įtakos lygties rezultatui. Atminkite, kad kai naudojama komutacinė savybė, lygties elementai yra pertvarkyta. Kai naudojama asociacinė savybė, elementai yra tik pergrupuotas.
Komutacinis turtas
Paprasčiau tariant, komutacinė savybė teigia, kad lygties veiksnius galima laisvai pertvarkyti, nepažeidžiant lygties rezultatų. Taigi komutacinė savybė yra susijusi su operacijų užsakymu, įskaitant realiųjų skaičių, sveikųjų skaičių ir racionaliųjų skaičių sudėjimą ir daugybą.
Pavyzdžiui, skaičius 2, 3 ir 5 galima sudėti bet kuria tvarka, nepažeidžiant galutinio rezultato:
2 + 3 + 5 = 10
3 + 2 + 5 = 10
5 + 3 + 2 = 10
Skaičius taip pat galima padauginti bet kokia tvarka, nepažeidžiant galutinio rezultato:
2 x 3 x 5 = 30
3 x 2 x 5 = 30
5 x 3 x 2 = 30
Tačiau atėmimas ir padalijimas nėra operacijos, kurios gali būti pakeistos, nes operacijų tvarka yra svarbi. Trys skaičiai aukščiau negaliupvz., atimkite bet kuria tvarka, nepažeisdami galutinės vertės:
2 - 3 - 5 = -6
3 - 5 - 2 = -4
5 - 3 - 2 = 0
Dėl to komutacinė savybė gali būti išreikšta per lygtis a + b = b + a ir a x b = b x a. Nesvarbu, kokia bus šių lygčių reikšmių tvarka, rezultatai visada bus vienodi.
Asociacinis turtas
Asociacinė savybė teigia, kad veiksnių grupavimas operacijoje gali būti pakeistas nepaveikiant lygties rezultato. Tai galima išreikšti per lygtį a + (b + c) = (a + b) + c. Nesvarbu, kuri reikšmių pora lygtyje pridedama pirmiausia, rezultatas bus tas pats.
Pvz., Paimkite lygtį 2 + 3 + 5. Nesvarbu, kaip vertės sugrupuojamos, lygties rezultatas bus 10:
(2 + 3) + 5 = (5) + 5 = 10
2 + (3 + 5) = 2 + (8) = 10
Kaip ir komutacinės savybės, taip ir asociatyvių operacijų pavyzdžiai apima realiųjų skaičių, sveikųjų skaičių ir racionaliųjų skaičių sudėjimą ir daugybą. Tačiau skirtingai nei komutacinė savybė, asociatyvioji savybė taip pat gali būti taikoma matricos dauginimui ir funkcijų sudarymui.
Kaip ir komutacinės savybių lygtys, asociatyviosios nuosavybės lygtys negali apimti realiųjų skaičių atimties. Paimkite, pavyzdžiui, aritmetinę užduotį (6 - 3) - 2 = 3 - 2 = 1; jei pakeisime skliaustelių grupę, turėsime 6 - (3 - 2) = 6 - 1 = 5, o tai pakeis galutinį lygties rezultatą.
Koks skirtumas?
Mes galime pasakyti, koks yra skirtumas tarp asociatyviosios ir komutacinės savybių, užduodami klausimą: „Ar mes keičiame tvarką? elementus, ar keičiame elementų grupavimą? “ Jei elementai pertvarkomi, tai komutacinė savybė taikoma. Jei elementai tik pergrupuojami, taikoma asociacinė savybė.
Tačiau atkreipkite dėmesį, kad vien skliaustuose buvimas nebūtinai reiškia, kad taikoma asociacinė savybė. Pavyzdžiui:
(2 + 3) + 4 = 4 + (2 + 3)
Ši lygtis yra realiųjų skaičių sudėjimo komutacinės savybės pavyzdys. Tačiau jei atidžiai atsižvelgsime į lygtį, pamatysime, kad buvo pakeista tik elementų tvarka, o ne grupavimas. Kad būtų taikoma asociatyvinė savybė, mes taip pat turėtume pertvarkyti elementų grupavimą:
(2 + 3) + 4 = (4 + 2) + 3