Atsitiktinio pasirinkimo pirminio skaičiaus tikimybė

Skaičių teorija yra matematika tai liečia sveikųjų skaičių rinkinį. Mes šiek tiek apsiribojame tai darydami, nes tiesiogiai nestudijuojame kitų skaičių, pavyzdžiui, neracionalių. Tačiau kitos rūšies realieji skaičiai yra naudojami. Be viso to, tikimybės subjektas turi daugybę ryšių ir susikirtimų su skaičių teorija. Viena iš šių jungčių yra susijusi su platinimu pirminiai skaičiai. Tiksliau galime paklausti, kokia yra tikimybė, kad atsitiktinai pasirinktas sveikasis skaičius nuo 1 iki x yra pirminis skaičius?

Kaip ir bet kuri matematikos problema, svarbu suprasti ne tik kokias prielaidas darome, bet ir apibrėžti visus pagrindinius problemos terminus. Norėdami išspręsti šią problemą, atsižvelgiame į sveikus skaičius, reiškiančius sveikus skaičius 1, 2, 3,... iki kažkokio skaičiaus x. Mes atsitiktinai pasirenkame vieną iš šių skaičių, tai reiškia, kad visi x iš jų yra vienodai tikėtina, kad bus pasirinkti.

Mes bandome nustatyti tikimybę, kad pasirinktas pirminis skaičius. Taigi turime suprasti pirminio skaičiaus apibrėžimą. Pradinis skaičius yra teigiamas sveikasis skaičius, turintis lygiai du veiksnius. Tai reiškia, kad vieninteliai pirminių skaičių dalikliai yra vienas ir pats skaičius. Taigi, 2,3 ir 5 yra pirmykštės, bet 4, 8 ir 12 nėra pirminės. Atkreipiame dėmesį, kad pirminiame skaičiuje turi būti du veiksniai, todėl skaičius 1 yra

Šios problemos sprendimas yra paprastas mažiems numeriams x. Viskas, ką mums reikia padaryti, yra tiesiog suskaičiuoti mažesnį ar lygų primimų skaičių x. Mes padalijame primų skaičių, mažesnį arba lygų x pagal skaičių x.

Pvz., Norėdami rasti tikimybę, kad pradinis dydis yra pasirinktas nuo 1 iki 10, turime padalinti pradmenų skaičių nuo 1 iki 10 iš 10. Skaičiai 2, 3, 5, 7 yra pirminiai, todėl pasirinkta pradinė reikšmė yra 4/10 = 40%.

Panašiu būdu galima nustatyti tikimybę, kad pradinis pasirinkimas yra nuo 1 iki 50. Mažesni nei 50 premijų yra: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43 ir 47. Yra 15 primų, mažesnių arba lygus 50. Taigi tikimybė, kad pradinis dydis bus parinktas atsitiktinai, yra 15/50 = 30%.

Šį procesą galima atlikti paprasčiausiai skaičiuojant primusus, jei tik turime primų sąrašą. Pvz., Yra 25 primes, mažesnės arba lygios 100. (Taigi tikimybė, kad atsitiktinai pasirinktas skaičius nuo 1 iki 100 yra svarbiausias, yra 25/100 = 25%.) Tačiau, jei neturime sąrašo Primų skaičiaus gali būti sudėtinga nustatyti pradinių skaičių aibę, mažesnę ar lygią duotai skaičius x.

Jei neturite prima skaičiaus, kuris būtų mažesnis arba lygus x, tada yra alternatyvus būdas išspręsti šią problemą. Sprendimas apima matematinį rezultatą, žinomą kaip pirminio skaičiaus teorema. Tai yra teiginys apie bendrą primų pasiskirstymą ir gali būti naudojamas apytiksliai tikimybei, kurią bandome nustatyti, apytiksliai.

Pirminio skaičiaus teorema teigia, kad yra maždaug x / ln (x) pirminiai skaičiai, mažesni arba lygi x. Čia ln (x) žymi natūralųjį logaritmą x, arba kitaip tariant, logaritmas, kurio bazė yra skaičius e. Kaip vertė x padidina apytikslę pagerina, ta prasme, kad santykinė paklaida tarp pradmenų skaičiaus sumažėja mažiau kaip x ir išraiška x / ln (x).

Mes galime panaudoti pirminio skaičiaus teoremos rezultatą problemai, kurią bandome išspręsti, išspręsti. Pagal pirminio skaičiaus teoremą mes žinome, kad jų yra maždaug x / ln (x) pirminiai skaičiai, mažesni arba lygi x. Be to, yra iš viso x teigiami sveikieji skaičiai yra mažesni arba lygi x. Todėl tikimybė, kad atsitiktinai parinktas skaičius šiame intervale yra didžiausias, yra (x / ln (x) ) /x = 1 / ln (x).

Dabar galime naudoti šį rezultatą apytiksliai tikimybei atsitiktinai parinkti pirminį skaičių iš pirmojo milijardas sveikieji skaičiai. Mes apskaičiuojame natūralų milijardo logaritmą ir matome, kad ln (1 000 000 000) yra maždaug 20,7, o 1 / ln (1 000 000 000) yra maždaug 0,0483. Taigi turime maždaug 4,83% tikimybę atsitiktinai pasirinkti pirminį skaičių iš pirmųjų milijardų skaičių.