Kas yra kurtosis statistikoje?

Duomenų pasiskirstymas ir tikimybių pasiskirstymas nėra vienodos formos. Kai kurie jų yra asimetriniai ir iškreiptas į kairę arba į dešinę. Kiti paskirstymai yra bimodalinis ir turi dvi viršūnes. Kita ypatybė, į kurią reikia atsižvelgti kalbant apie paskirstymą, yra paskirstymo uodegos forma kairėje ir dešinėje. Kurtozė yra pasiskirstymo uodegos storio ar sunkumo matas. Pasiskirstymo kurtozė priskiriama vienai iš trijų klasifikavimo kategorijų:

• Mesokurtic
• Leptokurtic
• Platykurtic

Mes apsvarstysime kiekvieną iš šių klasifikacijų paeiliui. Šių kategorijų tyrimas nebus toks tikslus, koks galėtume būti, jei taikytume techninį matematinį kurtozės apibrėžimą.

Kurtozė paprastai matuojama normalus skirstinys. Pasiskirstymas, kurio uodegos yra formuojamos beveik taip pat, kaip ir bet kuris normalus paskirstymas, o ne tik standartinis normalus pasiskirstymas, sakoma, kad jis yra mezokurtinis. Mezokurtinio pasiskirstymo kurtozė nėra nei aukšta, nei žema, veikiau laikoma, kad ji yra dviejų kitų klasifikacijų pradinė reikšmė.

Be to normalus pasiskirstymas, binominiai skirstiniai, kuriems p yra artimas 1/2, yra laikomi mezokurtiniais.

Leptokurtinis pasiskirstymas yra tas, kurio kurtozė didesnė nei mezokurtinis pasiskirstymas. Leptokurtiniai pasiskirstymai kartais identifikuojami smailėmis, kurios yra plonos ir aukštos. Šių pasiskirstymų uodegos į dešinę ir į kairę yra storos ir sunkios. Leptokurtiniai pasiskirstymai yra pavadinti priešdėliu „lepto“, reiškiančiu „liesas“.

Yra daugybė leptokurtinių pasiskirstymų pavyzdžių. Vienas iš labiausiai žinomų leptokurtinių pasiskirstymų yra Studento t pasiskirstymas.

Trečioji kurtozės klasifikacija yra platykurtinė. Platykurtiniai pasiskirstymai yra tie, kurių uodegos yra lieknos. Daug kartų jų smailė yra mažesnė už mezokurtinį pasiskirstymą. Šių paskirstymo tipų pavadinimas kilęs iš priešdėlio „platy“, reiškiančio „platus“, reikšmės.

Visi uniforma pasiskirstymai yra platykurtiniai. Be to, diskretus tikimybės pasiskirstymas iš vienos medalio pusės yra platykurtinis.

Ši kurtozės klasifikacija vis dar yra šiek tiek subjektyvi ir kokybiška. Nors mes galime pastebėti, kad paskirstymas turi storesnes uodegas nei įprastas paskirstymas, ką daryti, jei neturime normalaus paskirstymo grafiko, su kuriuo būtų galima palyginti? Ką daryti, jei norime pasakyti, kad vienas paskirstymas yra labiau leptokurtinis nei kitas?

Norint atsakyti į tokius klausimus, reikia ne tik kokybinio kurtozės aprašymo, bet ir kiekybinio įvertinimo. Naudojama formulė yra μ₄/σ⁴ kur μ₄ yra Pearsono ketvirtas momentas apie vidurkį o sigma yra standartinis nuokrypis.

Dabar, kai turime būdą apskaičiuoti kurtozę, galime palyginti gautas reikšmes, o ne formas. Nustatyta, kad normalus pasiskirstymas yra trijų kurtozių. Tai dabar tampa mezokurtinio paskirstymo pagrindu. Pasiskirstymas, kai kurtozė didesnė nei trys, yra leptokurtinis, o pasiskirstymas, kai kurtozė mažesnė nei trys, yra platykurtinis.

Kadangi mesokurtinį pasiskirstymą traktuojame kaip pagrindą kitiems paskirstymams, iš standartinio kurtozės skaičiavimo galime atimti tris. Formulė μ₄/σ⁴ - 3 yra perteklinės kurtozės formulė. Tada mes galime klasifikuoti paskirstymą pagal jo perteklinę kurtozę:

• Mezokurtinių pasiskirstymų perteklinė kurtozė yra lygi nuliui.
• Platykurtinis pasiskirstymas sukelia neigiamą perteklinę kurtozę.
• Leptokurtiniai pasiskirstymai turi teigiamą perteklinę kurtozę.

Žodis „kurtosis“ per pirmąjį ar antrąjį svarstymą atrodo keistas. Tai iš tikrųjų turi prasmę, bet mes turime mokėti graikų kalbą, kad tai suprastume. Kurtozė kildinama iš graikiško žodžio kurtos transliterizacijos. Šis graikų kalbos žodis turi reikšmę „išlenktas“ arba „išsipūtęs“, todėl tinkamas apibūdinti sąvoką, vadinamą kurtoze.