Tikimybė, kad maža tiesa Yahtzee viename ritinyje

Yahtzee yra kauliukų žaidimas, kuriame naudojami penki standartiniai šešių pusių kauliukai. Kiekviename posūkyje žaidėjams suteikiama trys ritinėliai, kad būtų pasiekti keli skirtingi tikslai. Po kiekvieno ridenimo žaidėjas gali nuspręsti, kuriuos kauliukus (jei tokių yra) išlaikyti ir kuriuos pakartoti. Tikslai apima daugybę skirtingų rūšių kombinacijų, kurių dauguma yra paimti iš pokerio. Kiekviena skirtingo tipo kombinacija yra verta skirtingo taškų skaičiaus.

Dvi iš kombinacijų rūšių, kurias žaidėjai privalo sukti, yra vadinamos tiesios: maža tiesi ir didelė tiesi. Kaip ir pokerio tiesumas, šie deriniai susideda iš nuosekliųjų kauliukų. Mažos tiesios naudoja keturis iš penkių kauliukų ir didelių tiesių naudok visus penkis kauliukus. Dėl kauliukų valcavimo atsitiktinumų, tikimybe galima remtis analizuojant, kaip tikėtina, kad per vieną ritinį suksite mažą tiesią.

Mes manome, kad naudojami kauliukai yra teisingi ir nepriklausomi vienas nuo kito. Taigi yra vienoda pavyzdinė erdvė, susidedanti iš visų galimų penkių kauliukų ritinėlių. Nors

Kadangi mes dirbame su uniformamėginio vieta, mūsų tikimybės apskaičiavimas tampa poros skaičiavimo problemų skaičiavimu. Mažos tiesės tikimybė yra mažos tiesos sukimo būdų skaičius, padalytas iš rezultatų pavyzdžio erdvėje skaičiaus.

Labai lengva suskaičiuoti rezultatų skaičių imties erdvėje. Mes rutuliojame penkis kauliukus ir kiekvienas iš šių kauliukų gali turėti vieną iš šešių skirtingų rezultatų. Pagrindinis daugybos principo taikymas mums sako, kad imties plotas yra 6 x 6 x 6 x 6 x 6 = 6⁵ = 7776 rezultatai. Šis skaičius bus trupmenų, kurias naudojame savo tikimybei, vardiklis.

Kitas, mes turime žinoti, kiek yra būdų, kaip sukti mažą tiesią. Tai yra sunkiau nei apskaičiuoti mėginio vietos dydį. Pirmiausia suskaičiuojame, kiek galimų tiesių yra.

Mažą tiesią lengviau sukti nei didelę, tačiau sunkiau suskaičiuoti šio tipo tiesos sukimo būdų skaičių. Maža tiesė susideda iš tiksliai keturių skaičių iš eilės. Kadangi yra šeši skirtingi štampo veidai, yra trys galimos mažos tiesės: {1, 2, 3, 4}, {2, 3, 4, 5} ir {3, 4, 5, 6}. Sunkumų kyla svarstant, kas atsitiks su penktąja mirtimi. Kiekvienu iš šių atvejų penktasis štampas turi būti skaičius, nesudarantis didelės tiesės. Pavyzdžiui, jei pirmieji keturi kauliukai būtų 1, 2, 3 ir 4, penktasis kauliukas galėtų būti ne kas kita, o 5. Jei penktasis die būtų 5, tada turėtume didelę tiesę, o ne mažą.

Tai reiškia, kad yra penki galimi ritinėliai, kurie suteikia mažą tiesią {1, 2, 3, 4}, penkis galimus ritinėliai, suteikiantys mažus tiesius {3, 4, 5, 6}, ir keturi galimi ritinėliai, kurie suteikia mažiesiems tiesius {2, 3, 4, 5}. Šis paskutinis atvejis yra skirtingas, nes penktą štampą suvyniojus 1 arba 6, {2, 3, 4, 5} pasikeis į didelę tiesę. Tai reiškia, kad yra 14 skirtingų būdų, kuriais penki kauliukai gali suteikti mums nedidelę tiesę.

Dabar mes nustatome skirtingą skaičių kauliukų rinkinio, kuris suteikia mums tiesę, skaičių. Kadangi mums reikia žinoti tik daugybę būdų, kaip tai padaryti, galime naudoti keletą pagrindinių skaičiavimo metodų.

Iš 14 skirtingų mažų tiesių gavimo būdų tik du iš šių {1,2,3,4,6} ir {1,3,4,5,6} yra aibės su atskirais elementais. Yra 5! = 120 būdų, kaip kiekvieną iš jų sukti 2 x 5! = 240 mažų tiesių.

Kiti 12 mažos tiesos sudarymo būdų yra techniškai daugiapakopiai, nes jie visi turi pasikartojantį elementą. Vienam konkrečiam multisetui, pvz., [1,1,2,3,4], mes suskaičiuosime skirtingų būdų skaičių, kaip tai panaudoti. Pagalvokite apie kauliukus kaip penkias pozicijas iš eilės:

• Yra du būdai C (5,2) = 10, kaip išdėstyti du pakartotus elementus tarp penkių kauliukų.
• Yra 3! = 6 būdai išdėstyti tris skirtingus elementus.

Daugybos principu yra 6 x 10 = 60 skirtingų būdų, kaip 1,1,2,3,4 kauliukus sukti į vieną ritinį.

Yra 60 būdų, kaip vieną tokį mažą sukti tiesiai su šiuo penktuoju štampu. Kadangi yra 12 daugiataškių, pateikiančių skirtingą penkių kauliukų sąrašą, yra 60 x 12 = 720 būdų, kaip sukti mažą tiesią, kurioje sutampa du kauliukai.

Iš viso yra 2 x 5! + 12 x 60 = 960 būdų, kaip susukti mažą tiesią.

Dabar tikimybė riedėti maža tiese yra paprastas padalijimo skaičiavimas. Kadangi yra 960 skirtingų būdų, kaip susukti mažą tiesiai į vieną ritinį, yra 7776 ritiniai galimi penki kauliukai, mažos tiesybės tikimybė yra 960/7776, tai yra arti 1/8 ir 12.3%.

Žinoma, labiau tikėtina, kad pirmasis ritinys nėra tiesus. Jei taip yra, tada mums leidžiami dar du ritiniai, kurie daro mažą tiesią daug labiau tikėtiną. Dėl visų galimų situacijų, į kurias reikėtų atsižvelgti, nustatyti šios tikimybės yra daug sudėtingesnė.