Mes gana anksti išmokstame matematikos karjerą, kad faktorinis, apibrėžtas neigiamiems sveikiesiems skaičiams n, yra būdas apibūdinti pakartotinį daugybą. Tai žymima šauktuku. Pavyzdžiui:
Vienintelė šio apibrėžimo išimtis yra nulinė faktorinė vertė, kur 0! = 1. Kai žiūrėsime į šias faktoriaus vertes, galėtume sudaryti poras n su n!. Tai suteiktų taškų (0, 1), (1, 1), (2, 2), (3, 6), (4, 24), (5, 120), (6, 720) ir tt apie.
Gama funkcijos apibrėžimas yra labai sudėtingas. Tai apima sudėtingai atrodančią formulę, kuri atrodo labai keista. Gama funkcijos apibrėžime naudojami kai kurie skaičiavimai, taip pat skaičius e Skirtingai nuo labiau žinomų funkcijų, tokių kaip polinomai ar trigonometrinės funkcijos, gama funkcija yra apibrėžiama kaip netinkamas kitos funkcijos integralas.
Gama funkcijos apibrėžimas gali būti naudojamas įrodyti daugybę tapatybių. Vienas iš svarbiausių iš jų yra tas, kad Γ ( z + 1 ) = z Γ( z ). Galime naudoti tai ir tai, kad Γ (1) = 1 pagal tiesioginį skaičiavimą:
Bet į gama funkciją mums nereikia įvesti tik sveikųjų skaičių. Bet koks sudėtingas skaičius, kuris nėra neigiamas sveikasis skaičius, yra gama funkcijos srityje. Tai reiškia, kad koeficientą galime išplėsti ir skaičiais, išskyrus neneigiamus sveikuosius skaičius. Iš šių reikšmių vienas iš labiausiai žinomų (ir stebinančių) rezultatų yra tas, kad Γ (1/2) = √π.
Kitas rezultatas, panašus į paskutinį, yra tas, kad Γ (1/2) = -2π. Iš tiesų, gama funkcija visada sukuria pi kvadrato šaknies daugkartinę išvestį, kai į funkciją įvedamas nelyginis 1/2 kartotinis.
Gama funkcija pasireiškia daugelyje, matyt, nesusijusių, matematikos sričių. Visų pirma, faktoriaus apibendrinimas, kurį suteikia gama funkcija, yra naudingas kai kurioms kombinatorikos ir tikimybių problemoms. Kai kurie tikimybiniai pasiskirstymai yra tiesiogiai apibrėžti pagal gama funkciją. Pavyzdžiui, gama pasiskirstymas nurodomas atsižvelgiant į gama funkciją. Šis pasiskirstymas gali būti naudojamas modeliuoti laiko intervalą tarp žemės drebėjimų. Studento t pasiskirstymas, kuris gali būti naudojamas duomenims, kurių populiacijos standartinis nuokrypis nežinomas, o chi-kvadrato pasiskirstymas taip pat apibrėžtas pagal gama funkciją.