Iš keleto tikimybių teoremų galima išvesti iš tikimybės aksiomos. Šios teoremos gali būti pritaikytos apskaičiuoti tikimybes, kurias galime norėti žinoti. Vienas iš tokių rezultatų yra žinomas kaip papildymo taisyklė. Šis teiginys leidžia mums apskaičiuoti įvykisA žinant komplemento tikimybę AC. Paaiškinę papildymo taisyklę, pamatysime, kaip šį rezultatą galima įrodyti.
Papildymo taisyklė
Renginio papildymas A žymimas AC. Papildymas A yra rinkinys visų universalaus rinkinio elementų, arba mėginio vieta S, kurie nėra rinkinio elementai A.
Papildymo taisyklė išreiškiama šia lygtimi:
P (AC) = 1 - P (A)
Čia matome, kad įvykio tikimybė ir jo papildymo tikimybė turi būti lygi 1.
Papildymo taisyklės įrodymas
Norėdami įrodyti papildymo taisyklę, pradedame nuo tikimybės aksiomų. Manoma, kad šie teiginiai nėra įrodyti. Pamatysime, kad jie gali būti sistemingai naudojami įrodyti mūsų teiginį dėl įvykio papildymo tikimybės.
- Pirmoji tikimybės aksioma yra ta, kad bet kurio įvykio tikimybė yra neigiama tikras numeris.
- Antroji tikimybės aksioma yra visos mėginio vietos tikimybė S yra vienas. Simboliškai rašome P (S) = 1.
- Trečioji tikimybės aksioma teigia, kad jei A ir B yra viena kitą paneigiančios (tai reiškia, kad jie turi tuščią sankryžą), tada nurodome šių įvykių sąjunga kaip P (A U B ) = P (A) + P (B).
Norėdami naudoti papildymo taisyklę, mums nereikės naudoti pirmosios aukščiau esančio sąrašo aksiomos.
Norėdami įrodyti savo teiginį, atsižvelgiame į įvykius Air AC. Iš rinkinio teorijos mes žinome, kad šie du rinkiniai susikerta. Taip yra todėl, kad elementas negali būti vienu metu abiejuose A o ne į A. Kadangi yra tuščia sankryža, šie du rinkiniai yra vienas kitą paneigiantys.
Dviejų įvykių sąjunga A ir AC taip pat yra svarbūs. Tai yra išsamūs įvykiai, reiškiantys, kad sąjunga šių įvykių yra visa pavyzdinė erdvė S.
Šie faktai kartu su aksiomomis suteikia mums lygtį
1 = P (S) = P (A U AC) = P (A) + P (AC) .
Pirmoji lygybė atsiranda dėl antrosios tikimybės aksiomos. Antroji lygybė yra todėl, kad įvykiai A ir AC yra išsamūs. Trečioji lygybė yra dėl trečiosios tikimybės aksiomos.
Aukščiau pateiktą lygtį galima pertvarkyti į formą, kurią mes nurodėme aukščiau. Viskas, ką turime padaryti, yra atimti tikimybę A iš abiejų lygties pusių. Taigi
1 = P (A) + P (AC)
tampa lygtimi
P (AC) = 1 - P (A).
Žinoma, taisyklę taip pat galėtume išreikšti teigdami:
P (A) = 1 - P (AC).
Visos trys šios lygtys yra lygiaverčiai būdai pasakyti tą patį. Iš šio įrodymo matome, kaip tik dvi aksiomos ir tam tikra teorija nueina ilgą kelią, kad padėtų mums įrodyti naujus teiginius apie tikimybę.