Algebros lygiaverčių lygčių supratimas

Ekvivalentinės lygtys yra lygčių sistemos, turinčios tuos pačius sprendimus. Lygiaverčių lygčių nustatymas ir sprendimas yra vertingas įgūdis ne tik algebros klasė bet ir kasdieniame gyvenime. Pažvelkite į lygiaverčių lygčių pavyzdžius, kaip jas išspręsti vienam ar keliems kintamiesiems ir kaip galite panaudoti šį įgūdį už klasės ribų.

Pagrindiniai išvežamieji daiktai

Paprasčiausiose lygiaverčių lygčių pavyzdžiuose nėra jokių kintamųjų. Pavyzdžiui, šios trys lygtys yra lygiavertės viena kitai:

• 3 + 2 = 5
• 4 + 1 = 5
• 5 + 0 = 5

Pripažinti, kad šios lygtys yra lygiavertės, yra puiku, bet ne ypač naudinga. Paprastai lygiavertės lygties problema prašo išspręsti kintamąjį, kad pamatytumėte, ar jis yra tas pats (tas pats šaknis) kaip vienoje kitoje lygtyje.

Pavyzdžiui, šios lygtys yra lygiavertės:

• x = 5
• -2x = -10

Abiem atvejais x = 5. Kaip mes tai žinome? Kaip jūs išspręsite šią lygtį „-2x = -10“? Pirmasis žingsnis yra žinoti lygiaverčių lygčių taisykles:

• Pridedant arba atėmus tą patį skaičių ar išraišką į abi lygties puses, gaunama lygiavertė lygtis.
• Padauginus arba padalijus abi lygties puses iš to paties nulio skaičiaus, gaunama lygiavertė lygtis.
• Abiejų lygties pusių pakelkite į ta pati keista galia arba paėmus tą pačią nelyginę šaknį, bus gauta lygiavertė lygtis.
• Jei abi lygties pusės nėraneigiamas, padidindami abi lygties puses į tą pačią lygią galią arba paėmę tą pačią lyginę šaknį, gausime lygiavertę lygtį.

Įgyvendindami šias taisykles, nustatykite, ar šios dvi lygtys yra lygiavertės:

• x + 2 = 7
• 2x + 1 = 11

Norėdami tai išspręsti, kiekvienam turite rasti „x“ lygtis. Jei „x“ yra tas pats abiem lygtimis, tada jie yra lygiaverčiai. Jei „x“ skiriasi (t. Y. Lygčių šaknys yra skirtingos), tada lygtys nėra lygiavertės. Pirmajai lygčiai:

• x + 2 = 7
• x + 2 - 2 = 7 - 2 (atimant abi puses iš to paties skaičiaus)
• x = 5

Už antrąją lygtį:

• 2x + 1 = 11
• 2x + 1 - 1 = 11 - 1 (atimant abi puses iš to paties skaičiaus)
• 2x = 10
• 2x / 2 = 10/2 (abi lygties puses padalijant iš to paties skaičiaus)
• x = 5

Taigi, taip, abi lygtys yra lygiavertės, nes kiekvienu atveju x = 5.

Kasdieniniame gyvenime galite naudoti lygiavertes lygtis. Tai ypač naudinga perkant. Pavyzdžiui, jums patinka tam tikri marškiniai. Viena įmonė siūlo marškinius už 6 USD ir gabena už 12 USD, o kita įmonė siūlo marškinius už 7,50 USD ir turi 9 USD. Kurie marškiniai turi geriausią kainą? Kiek marškinėlių (gal norite juos nusipirkti draugams) turėtumėte nusipirkti, kad kaina būtų vienoda abiem įmonėms?

Norėdami išspręsti šią problemą, tegul „x“ yra marškinėlių skaičius. Norėdami pradėti, nustatykite x = 1 vieniems marškiniams įsigyti. 1 įmonei:

• Kaina = 6x + 12 = (6) (1) + 12 = 6 + 12 = 18 USD

2 įmonei:

• Kaina = 7,5x + 9 = (1) (7,5) + 9 = 7,5 + 9 = 16,50 USD

Taigi, jei perkate vienus marškinius, antroji įmonė siūlo geresnį pasiūlymą.

Norėdami rasti tašką, kuriame kainos yra lygios, leiskite „x“ likti marškinėlių skaičiumi, tačiau nustatykite abi lygtis viena kitai. Jei norite rasti, kiek marškinėlių turėtumėte nusipirkti, išspręskite „x“:

• 6x + 12 = 7,5x + 9
• 6 x 7,5 x = 9–12 (atimant vienodi skaičiai ar išraiškos iš abiejų pusių)
• -1,5x = -3
• 1,5x = 3 (padalijant abi puses iš to paties skaičiaus, -1)
• x = 3 / 1,5 (padalijant abi puses iš 1,5)
• x = 2

Jei perkate du marškinius, kaina yra vienoda, nesvarbu, kur juos įsigysite. Tą pačią matematiką galite naudoti norėdami nustatyti, kuri įmonė suteikia jums geresnį susidorojimą su didesniais užsakymais, taip pat apskaičiuoti, kiek sutaupysite naudodamiesi viena įmone, o ne kita. Žiūrėk, algebra yra naudinga!

Jei turite dvi lygtis ir du nežinomus (x ir y), galite nustatyti, ar dvi tiesinių lygčių grupės yra lygiavertės.

Pvz., Jei jums pateikiamos lygtys:

• -3x + 12y = 15
• 7x - 10y = -2

Galite nustatyti, ar ši sistema yra lygiavertė:

• -x + 4y = 5
• 7x –10y = -2

Kam išspręsk šią problemą, kiekvienai lygčių sistemai raskite „x“ ir „y“. Jei reikšmės yra vienodos, tada lygčių sistemos yra lygiavertės.

Pradėkite nuo pirmo rinkinio. Norėdami išspręsti du lygtys su dviem kintamieji, išskirkite vieną kintamąjį ir įjunkite jo tirpalą į kitą lygtį. Norėdami atskirti kintamąjį „y“:

• -3x + 12y = 15
• -3x = 15 - 12 m
• x = - (15–12 m.) / 3 = –5 + 4 m (įjunkite „x“ į antrąją lygtį)
• 7x - 10y = -2
• 7 (-5 + 4y) - 10y = -2
• -35 + 28y - 10y = -2
• 18y = 33
• y = 33/18 = 11/6

Dabar prijunkite „y“ prie bet kurios lygties, kad išspręstumėte „x“:

• 7x - 10y = -2
• 7x = -2 + 10 (11/6)

Dirbdami tai gausite x = 7/3.

Norėdami atsakyti į klausimą, jūs galėtų taikykite tuos pačius principus antrajam lygčių rinkiniui, kad išspręstumėte „x“ ir „y“, kad išsiaiškintumėte, kad taip, jie iš tikrųjų yra lygiaverčiai. Nesunku susipainioti su algebra, todėl verta patikrinti savo darbą naudojant internetinis lygčių sprendimas.

Tačiau protingas studentas pastebės, kad du lygčių rinkiniai yra lygiaverčiai visai neatlikdami jokių sunkių skaičiavimų. Vienintelis skirtumas tarp pirmosios lygties kiekviename rinkinyje yra tas, kad pirmoji yra tris kartus didesnė už antrąją (lygiavertė). Antroji lygtis yra lygiai tokia pati.