Kas yra Sankt Peterburgo paradoksas?

Einate Sankt Peterburgo, Rusijos gatvėse, ir senas vyras siūlo šį žaidimą. Jis aplenkia monetą (ir pasiskolins vieną iš jūsų, jei netikite, kad jo sąskaita yra teisinga). Jei jis nusileidžia uodegoms, prarandate ir žaidimas baigtas. Jei moneta išlenda į viršų, tada laimi vieną rublį ir žaidimas tęsiasi. Moneta vėl išmesta. Jei tai yra uodegos, tada žaidimas baigiasi. Jei tai yra galvos, tada jūs laimite papildomus du rublius. Žaidimas tęsiamas tokiu būdu. Už kiekvieną iš eilės einantį galvą mes dvigubai padidiname ankstesnio turo laimėjimus, tačiau ženklas apie pirmąją uodegą yra baigtas.

Kiek mokėtumėte žaisti šį žaidimą? Kai mes apsvarstysime tikėtina vertė šio žaidimo, jūs turėtumėte peršokti į šansą, nesvarbu, kiek kainuoja žaisti. Tačiau iš aukščiau pateikto aprašymo tikriausiai nenorėtumėte mokėti daug. Galų gale yra 50% tikimybė nieko laimėti. Tai vadinama Sankt Peterburgo paradoksu, pavadinta dėl 1738 m. Danieliaus Bernoulli publikacijos Sankt Peterburgo imperatoriškosios mokslo akademijos komentarai.

Pradėkime nuo skaičiavimo tikimybes susijęs su šiuo žaidimu. Tikimybė, kad teisinga moneta nukris, yra 1/2. Kiekvienas monetų numetimas yra nepriklausomas įvykis, todėl tikimybes dauginame naudodami a medžio schema.

• Dviejų galvų iš eilės tikimybė yra (1/2)) x (1/2) = 1/4.
• Trijų galvų iš eilės tikimybė yra (1/2) x (1/2) x (1/2) = 1/8.
• Norėdami išreikšti tikimybę n galvos iš eilės, kur n yra teigiamas sveikas skaičius, kurį mes naudojame eksponentų rašydami 1/2ⁿ.

Dabar pereikime toliau ir pažiūrėkime, ar galime apibendrinti, kokie laimėjimai būtų kiekviename ture.

• Jei turite galvą pirmame ture, už tą raundą laimi vieną rublį.
• Jei antrame ture yra galva, tu laimėsi du rublius.
• Jei trečiajame ture yra galva, tada tu laimėk keturis rublius.
• Jei jums pasisekė, kad padarytumėte tai iki galo n^tūkst turas, tada jūs laimėsite 2^n-1 rublių tame raunde.

Laukiama žaidimo vertė mums parodo, koks laimėjimas vidutiniškai būtų, jei žaidėte žaidimą daug, daug kartų. Norėdami apskaičiuoti numatomą vertę, mes padauginsime kiekvieno turo laimėjimo vertę su tikimybe patekti į šį turą, o tada sudėsime visus šiuos produktus kartu.

• Nuo pirmojo turo tikimybė yra 1/2, o laimėjimai - 1 rublis: 1/2 x 1 = 1/2
• Nuo antrojo turo tikimybė yra 1/4, o laimėjimai - 2 rubliai: 1/4 x 2 = 1/2
• Nuo pirmo turo tikimybė yra 1/8, o laimėjimai - 4 rubliai: 1/8 x 4 = 1/2
• Nuo pirmo turo tikimybė yra 1/16, o laimėjimai - 8 rubliai: 1/16 x 8 = 1/2
• Nuo pirmo turo tikimybė yra 1/2ⁿ ir 2 laimėjimai^n-1 rublių: 1/2ⁿ x 2^n-1 = 1/2

Kiekvieno turo vertė yra 1/2, pridedant rezultatus iš pirmojo n raundai kartu suteikia mums laukiamą vertę n/ 2 rubliai. Nuo n gali būti bet koks teigiamas sveikas skaičius, laukiama vertė yra beribė.

Taigi, ką jūs turėtumėte mokėti žaisti? Rublis, tūkstantis rublių ar net a milijardas rublių, visa tai ilgainiui būtų mažesnė nei tikėtasi. Nepaisant aukščiau pateikto skaičiavimo, žadamo neapsakomo turtingumo, mes visi vis tiek nenorėtume mokėti labai daug, kad vaidintume.

Yra daugybė būdų, kaip išspręsti paradoksą. Vienas iš paprastesnių būdų yra tas, kad niekas nesiūlytų tokio žaidimo, koks aprašytas aukščiau. Niekas neturi begalinių išteklių, kurių prireiktų sumokėti tam, kuris ir toliau kratė galvas.

Kitas būdas išspręsti paradoksą yra nurodyti, kaip mažai tikėtina gauti 20 galvų iš eilės. šansai tai nutinka geriau, nei laimi dauguma valstybių loterijos. Žmonės reguliariai žaidžia tokias loterijas už penkis ar mažiau dolerių. Taigi kaina žaisti Peterburgo žaidimą tikriausiai neturėtų viršyti kelių dolerių.

Jei vyras Sankt Peterburgas sako, kad žaisti jo žaidimą kainuos nieko daugiau nei kelis rublius, turėtum mandagiai atsisakyti ir išeiti. Rublių šiaip ar taip neverta.