Matematinės statistikos akimirkos apima pagrindinį skaičiavimą. Šie skaičiavimai gali būti naudojami norint rasti tikimybės pasiskirstymo vidurkį, dispersiją ir pasvirimą.
Tarkime, kad mes turime duomenų rinkinį, kurio bendra suma yra ndiskretus taškų. Vienas svarbus skaičiavimas, kuris iš tikrųjų yra keli skaičiai, vadinamas soji akimirka. sduomenų rinkinio su vertėmis momentas x1, x2, x3,..., xn pateikiamas pagal formulę:
(x1s + x2s + x3s +... + xns)/n
Norėdami naudoti šią formulę, turime būti atidūs operacijų tvarkai. Pirmiausia turime padaryti eksponentus, pridėti, tada padalyti šią sumą iš n bendras duomenų verčių skaičius.
Pastaba dėl termino „akimirka“
Terminas momentas buvo paimtas iš fizikos. Fizikoje taškų masių sistemos momentas apskaičiuojamas naudojant formulę, identišką aukščiau pateiktai, ir ši formulė naudojama ieškant taškų masės centro. Statistikoje reikšmės nebėra masės, bet, kaip matysime, statistikos momentai vis tiek išmatuoja ką nors, palyginti su verčių centru.
Pirma akimirka
Pirmą akimirką mes nusistatėme s = 1. Taigi pirmojo momento formulė yra:
(x1x2 + x3 +... + xn)/n
Tai identiška mėginio formulei reiškia.
Pirmasis reikšmių 1, 3, 6, 10 momentas yra (1 + 3 + 6 + 10) / 4 = 20/4 = 5.
Antra akimirka
Antrą akimirką mes nusistatėme s = 2. Antrojo momento formulė yra:
(x12 + x22 + x32 +... + xn2)/n
Antrasis verčių 1, 3, 6, 10 momentas yra (12 + 32 + 62 + 102) / 4 = (1 + 9 + 36 + 100)/4 = 146/4 = 36.5.
Trečia akimirka
Trečią akimirką mes nusistatėme s = 3. Trečiojo momento formulė:
(x13 + x23 + x33 +... + xn3)/n
Trečiasis verčių 1, 3, 6, 10 momentas yra (13 + 33 + 63 + 103) / 4 = (1 + 27 + 216 + 1000)/4 = 1244/4 = 311.
Aukštesni momentai gali būti apskaičiuojami panašiai. Tiesiog pakeisk s aukščiau pateiktoje formulėje su skaičiumi, žyminčiu norimą momentą.
Akimirkos apie vidurkį
Susijusi idėja yra sth momentas apie vidurkį. Atlikdami šiuos skaičiavimus, atliekame šiuos veiksmus:
- Pirmiausia apskaičiuokite verčių vidurkį.
- Tada iš kiekvienos vertės atimkite šią reikšmę.
- Tada padidinkite kiekvieną iš šių skirtumų sth galia.
- Dabar pridėkite skaičius nuo 3 veiksmo kartu.
- Galiausiai padalinkite šią sumą iš verčių, nuo kurių pradėjome, skaičiaus.
Formulė sth momentas apie vidurkį m vertės verčių x1, x2, x3,..., xn suteikia:
ms = ((x1 - m)s + (x2 - m)s + (x3 - m)s +... + (xn - m)s)/n
Pirma akimirka apie vidurkį
Pirmasis momentas apie vidurkį visada lygus nuliui, nesvarbu, koks duomenų rinkinys yra, su kuriuo mes dirbame. Tai galima pastebėti taip:
m1 = ((x1 - m) + (x2 - m) + (x3 - m) +... + (xn - m))/n = ((x1+ x2 + x3 +... + xn) - nm)/n = m - m = 0.
Antra akimirka apie vidurkį
Antrasis momentas apie vidurkį gaunamas pagal pirmiau pateiktą formulę nustatants = 2:
m2 = ((x1 - m)2 + (x2 - m)2 + (x3 - m)2 +... + (xn - m)2)/n
Ši formulė yra lygi mėginio dispersijos formulei.
Pavyzdžiui, apsvarstykite 1, 3, 6, 10 rinkinį. Mes jau apskaičiavome, kad šio rinkinio vidurkis yra 5. Atimkite tai iš kiekvienos duomenų vertės, kad gautumėte skirtumus:
- 1 – 5 = -4
- 3 – 5 = -2
- 6 – 5 = 1
- 10 – 5 = 5
Kiekvieną iš šių verčių padaliname į kvadratą ir sudedame: (-4)2 + (-2)2 + 12 + 52 = 16 + 4 + 1 + 25 = 46. Galiausiai padalinkite šį skaičių iš duomenų taškų skaičiaus: 46/4 = 11,5
Akimirkų pritaikymas
Kaip minėta pirmiau, pirmasis momentas yra vidurkis, o antrasis - apie vidurkį dispersija. Karlas Pearsonas pristatė trečiojo momento naudojimą apskaičiuojant vidurkį skeptiškumas ir ketvirtasis momentas apie vidurkį apskaičiuojant kurtozė.