Yahtzee riedėjimo tikimybė

Yahtzee yra kauliukų žaidimas, apimantis atsitiktinumo ir strategijos derinį. Žaidėjas pradeda savo eilę, sukdamas penkis kauliukus. Po šio ritinio žaidėjas gali nuspręsti perleisti bet kurį kauliuko numerį. Kiekvieno posūkio metu iš viso yra trys ritinėliai. Po šių trijų ritinėlių kauliuko rezultatas įrašomas į rezultatų lentelę. Šiame rezultatų lape yra skirtingos kategorijos, pavyzdžiui, a pilnas namas arba didelis tiesus. Kiekvieną kategoriją tenkina skirtingi kauliukų deriniai.

Sunkiausia užpildyti kategoriją yra jachta. Yahtzee įvyksta, kai žaidėjas nubėga penkis to paties skaičiaus žaidimus. Kiek mažai tikėtina, kad jachta? Tai yra daug sudėtingesnė problema nei tikimybių radimas du ar net trys kauliukai. Pagrindinė priežastis yra ta, kad yra daug būdų, kaip gauti tris atitikimo kauliukus per tris ritinius.

Yahtzee riedėjimo tikimybę galime apskaičiuoti naudodami derinių kombinatorinę formulę ir padaliję problemą į keletą vienas kitą paneigiantys atvejų.

Lengviausias atvejis, kurį reikia išnagrinėti, yra gauti Yahtzee iškart ant pirmo ritinio. Pirmiausia apžvelgsime

Dviejų pasisukimo tikimybė yra 1/6, o kiekvieno žūties rezultatas nepriklauso nuo likusių. Taigi penkių dvynių sukimosi tikimybė yra (1/6) x (1/6) x (1/6) x (1/6) x (1/6) = 1/7776. Bet kokio kito skaičiaus penketuko tikimybė taip pat yra 1/7776. Kadangi miršta iš viso šeši skirtingi skaičiai, aukščiau pateiktą tikimybę padauginame iš 6.

Tai reiškia, kad Yahtzee tikimybė pirmame ritinyje yra 6 x 1/7776 = 1/1296 = 0,08 procentai.

Jei suktume ką nors kitą, išskyrus penkis tokio tipo pirmuosius ritinius, turėsime dar kartą permesti kai kuriuos savo kauliukus, kad pabandytume gauti Yahtzee. Tarkime, kad mūsų pirmasis ritinys yra keturių rūšių. iš naujo suvyniokime tą ritinį, kuris nesutampa, ir tada gausime Yahtzee ant šio antrojo ritinio.

Iš viso penkių dvynių sukimosi tikimybė yra tokia:

1. Pirmajame ritinyje turime keturis dvynius. Kadangi yra tikimybė, kad 1/6 rutuliojasi du, o 5/6 - nesukels dviejų, mes padauginsime (1/6) x (1/6) x (1/6) x (1/6) x ( 5/6) = 5/7776.
2. Bet kuris iš penkių kauliukai valcuoti gali būti ne dviese. Mes naudojame savo derinio formulę C (5, 1) = 5, kad suskaičiuotume, kiek būdų galime suvynioti keturis porus ir tai, kas nėra du.
3. Padauginame ir matome, kad tikimybė, kad pirmąjį ritinį suvyks tiksliai keturi dvyniai, yra 25/7776.
4. Antrame ritinyje turime apskaičiuoti riedėjimo vieną du tikimybę. Tai yra 1/6. Taigi dvynių Yahtzee sukimosi tikimybė aukščiau nurodytu būdu yra (25/7776) x (1/6) = 25/46656.

Norint sužinoti bet kurio Yahtzee sukimosi tikimybę, atrandama padauginus aukščiau pateiktą tikimybę iš 6, nes ant štampo yra šeši skirtingi skaičiai. Tai suteikia 6 x 25/46656 = 0,32 proc. Tikimybę.

Bet tai nėra vienintelis būdas Yahtzee susukti dviem ritinėliais. Visos šios tikimybės randamos panašiai kaip aukščiau:

• Mes galėtume sukti tris natūralius, o tada du kauliukus, kurie atitiktų mūsų antrąjį ritinį. Tam tikimybė yra 6 x C (5, 3) x (25/7776) x (1/36) = 0,54 proc.
• Galėjome suvynioti atitinkančią porą, o antrame - tris kauliukus. To tikimybė yra 6 x C (5, 2) x (100/7776) x (1/216) = 0,36 proc.
• Galėtume nubraukti penkis skirtingus kauliukus, išskyrus vieną štampą nuo pirmojo ritinio, tada sukti keturis kauliukus, kurie atitinka antrąjį ritinį. Tam tikimybė yra (6! / 7776) x (1/1296) = 0,01 procento.

Pirmiau minėti atvejai vienas kitą paneigia. Tai reiškia, kad norint apskaičiuoti Yahtzee sukimosi dviem ritinėliais tikimybę, sudėsime aukščiau pateiktas tikimybes ir turime maždaug 1,23 proc.

Kol kas sudėtingiausia situacija, dabar išnagrinėsime atvejį, kai Yahtzee gauti naudojame visus tris savo ritinius. Galėtume tai padaryti keliais būdais ir privalome atsiskaityti už juos visus.

Šių galimybių tikimybės apskaičiuojamos taip:

• Tikimybė, kad suvynios keturios rūšys, tada nieko, tada paskutiniojo ritinio paskutiniojo ritinio sutapimas yra 6 x C (5, 4) x (5/7776) x (5/6) x (1/6) = 0,27 procentų.
• Tikimybė, kad susisuks trys rūšys, tada nieko, tada suderinimas su teisinga pora paskutiniame ritinyje yra 6 x C (5, 3) x (25/7776) x (25/36) x (1/36) = 0,37 proc.
• Tikimybė, kad sulinks suderintą porą, tada nieko, tada suderinimas su teisingais trečiosios rūšies trečiaisiais ritiniais yra 6 x C (5, 2) x (100/7776) x (125/216) x (1/216) ) = 0,21 procento.
• Vieno štampo riedėjimo tikimybė, tada nieko neatitinkantis, tada suderinimas su teisingais keturiais rūšies ženklais trečiajame ritinyje yra (6! / 7776) x (625/1296) x (1/1296) = 0,003 proc.
• Trijų rūšių riedėjimo tikimybė, atitinkanti papildomą štampą kitame ritinyje, po kurio seka atitikimas penktajam štampui trečiajame ritinyje yra 6 x C (5, 3) x (25/7776) x C (2, 1) x (5/36) x (1/6) = 0,89 procentų.
• Poros pasukimo tikimybė, suderinus papildomą porą kitame ritinyje, po kurio seka penktasis trečiojo ritinėlio štampas yra 6 x C (5, 2) x (100/7776) x C (3, 2) x (5/216) x (1/6) = 0,89 procentų.
• Poros pasukimo tikimybė, pridedant papildomą štampą kitame ritinyje, po kurio sutampa paskutiniai du kauliukai trečiajame ritinyje yra 6 x C (5, 2) x (100/7776) x C (3, 1) x (25/216) x (1/36) = 0,74 proc.
• Tikimybė, kad riedės vienas, tai kitas numirs, kad atitiktų jį antrame ritinyje, o tada trečiojo tipo trečiajame ritinyje yra (6! / 7776) x C (4, 1) x (100/1296) x (1/216) = 0,01 procento.
• Tikimybė, kad antrą ritinį pavyks suderinti, tai yra tokio tipo, trečiojo tipo, po kurio eis rungtynės trečiajame ritinyje, yra (6! / 7776) x C (4, 3) x (5/1296) x (1/6) = 0,02 proc.
• Tikimybė, kad pasuks viena rūšis, pora atitiks ją antrame ritinyje, o tada dar viena pora, kuri atitiks trečiąjį ritinį, yra (6! / 7776) x C (4, 2) x (25/1296) x (1/36) = 0,03 proc.

Visas aukščiau išvardytas tikimybes sudedame kartu, kad nustatytume Yahtzee sukimosi į tris kauliukus tikimybę. Ši tikimybė yra 3,43 proc.

Yahtzee tikimybė viename ritinyje yra 0,08%, Yahtzee tikimybė dviejuose ritiniuose yra 1,23%, o Yahtzee tikimybė trijuose ritiniuose yra 3,43%. Kadangi kiekviena iš jų yra viena kitą paneigiančios, tikimybes pridedame kartu. Tai reiškia, kad Yahtzee tikimybė tam tikrame posūkyje yra maždaug 4,74 proc. Žvelgiant į tai perspektyvoje, kadangi 1/21 yra maždaug 4,74 proc., Vien tik žaidėjas turėtų tikėtis Yahtzee kartą per 21 posūkį. Praktiškai gali prireikti daugiau laiko, nes pradinė pora gali būti atmesta, kad suktųsi kažko kito, pavyzdžiui, a tiesiai.