Eksponentinės funkcijos papasakoti sprogstamųjų pokyčių istorijas. Dviejų tipų eksponentinės funkcijos yra eksponentinis augimas ir eksponentinis skilimas. Keturi kintamieji (pokytis procentais, laikas, suma laikotarpio pradžioje ir suma laikotarpio pabaigoje) vaidina eksponentines funkcijas. Norėdami rasti sumą laikotarpio pradžioje, naudokite eksponentinio mažėjimo funkciją.
Eksponentinis skilimas
Eksponentinis mažėjimas yra pokytis, kuris įvyksta, kai pradinė suma per tam tikrą laiką sumažinama pastovia norma.
Štai eksponentinio skilimo funkcija:
y = a (1-b)x
- y: Galutinė suma, likusi po ardymo per tam tikrą laiką
- a: Pradinė suma
- x: Laikas
- Puvimo koeficientas yra (1-b)
- Kintamasis b yra dešimtosios dalies sumažėjimo procentas.
Originalios sumos suradimo tikslas
Jei skaitote šį straipsnį, tuomet tikriausiai esate ambicingi. Po šešerių metų galbūt norėsite siekti bakalauro laipsnis Svajonių universitete. Svajonių universitetas, turėdamas 120 000 USD kainą, iššaukia finansinius naktinius siaubus. Po nemigos naktų jūs, mama ir tėtis susitinkate su finansų planuotoju. Jūsų tėvų kraujo praliejimo akys paaiškėja, kai planuotojas paaiškina, kad aštuonių procentų augimo investicija gali padėti jūsų šeimai pasiekti 120 000 USD tikslą. Uoliai mokytis. Jei jūs ir jūsų tėvai šiandien investuosite 75 620,36 USD, svajonių universitetas taps jūsų realybe dėl eksponentinio skilimo.
Kaip išspręsti
Ši funkcija apibūdina eksponentinį investicijų augimą:
120,000 = a(1 +.08)6
- 120 000: Galutinė suma, likusi po 6 metų
- .08: Metinis augimo tempas
- 6: Investicijų augimo metų skaičius
- a: Pradinė suma, kurią investavo jūsų šeima
Dėl simetriškos savybės lygybės 120 000 = a(1 +.08)6 yra tas pats kaip a(1 +.08)6 = 120,000. Simetrinė lygybės savybė teigia, kad jei 10 + 5 = 15, tada 15 = 10 + 5.
Jei norite perrašyti lygtį su konstanta (120 000) lygties dešinėje, tai darykite.
a(1 +.08)6 = 120,000
Natūralu, kad lygtis neatrodo a tiesinė lygtis (6a = 120 000 USD), bet tai įmanoma išspręsti. Laikykis to!
a(1 +.08)6 = 120,000
Neišspręskite šios eksponentinės lygties padaliję 120 000 iš 6. Tai viliojantis matematikos ne-ne.
1. Norėdami supaprastinti, naudokite operacijų tvarką
a(1 +.08)6 = 120,000
a(1.08)6 = 120 000 (skliausteliuose)
a(1.586874323) = 120 000 (eksponentas)
2. Išspręskite dalijant
a(1.586874323) = 120,000
a(1.586874323) / (1.586874323) = 120,000 / (1.586874323)
1a = 75,620.35523
a = 75,620.35523
Pradinė investuojama suma yra maždaug 75 620,36 USD.
3. Fiksuoti: dar nepadarėte; Norėdami patikrinti savo atsakymą, naudokite operacijų tvarką
120,000 = a(1 +.08)6
120,000 = 75,620.35523(1 +.08)6
120,000 = 75,620.35523(1.08)6 (Skliaustas)
120 000 = 75 620,35523 (1,586874323) (eksponentas)
120 000 = 120 000 (daugyba)
Atsakymai ir paaiškinimai į klausimus
Woodwood, Teksasas, Hiustono priemiestis, yra pasiryžęs panaikinti skaitmeninę atskirtį savo bendruomenėje. Prieš keletą metų bendruomenės vadovai išsiaiškino, kad jų piliečiai yra neraštingi. Jie neturėjo galimybės naudotis internetas ir buvo išstumti iš greitkelio informacijos. Vadovai sukūrė internetą ant ratų, mobiliųjų kompiuterinių stočių rinkinį.
Žiniatinklis internete ant ratų pasiekė tikslą, kad tik 100 neraštingų piliečių būtų „Woodforest“. Bendruomenės vadovai tyrinėjo mėnesinę pasaulinio tinklo ant ratų pažangą. Remiantis duomenimis, neraštingų piliečių skaičiaus mažėjimą galima apibūdinti šia funkcija:
100 = a(1 - .12)10
1. Kiek žmonių yra neraštingi praėjus 10 mėnesių nuo pasaulinio tinklo ant ratų pradžios?
- 100 žmonių
Palyginkite šią funkciją su originalia eksponentinio augimo funkcija:
100 = a(1 - .12)10
y = a (1 + b)x
kintamasisy rodo kompiuterių neraštingų žmonių skaičių 10 mėnesių pabaigoje, taigi 100 žmonių vis dar yra kompiuteriniai neraštingi po to, kai visuomenėje pradėjo veikti internetas ant ratų.
2. Ar ši funkcija reiškia eksponentinį mažėjimą ar eksponentinį augimą?
- Ši funkcija reiškia eksponentinį mažėjimą, nes neigiamas ženklas yra prieš procentų pokytį (.12).
3. Kokia mėnesio kaitos norma?
- 12 procentų
4. Kiek žmonių prieš 10 mėnesių buvo neraštingi, kai atsirado internetas ant ratų?
- 359 žmonės
Naudokiteoperacijų tvarka supaprastinti.
100 = a(1 - .12)10
100 = a(.88)10 (Skliaustas)
100 = a(.278500976) (eksponentas)
Padalinkite, kad išspręstumėte.
100(.278500976) = a(.278500976) / (.278500976)
359.0651689 = 1a
359.0651689 = a
Norėdami patikrinti savo atsakymą, naudokite operacijų tvarką.
100 = 359.0651689(1 - .12)10
100 = 359.0651689(.88)10 (Skliaustas)
100 = 359,0651689 (.278500976) (eksponentas)
100 = 100 (dauginti)
5. Jei šios tendencijos išliks, kiek žmonių bus neraštingi per 15 mėnesių nuo tada, kai pradės veikti pasaulinis internetas ant ratų?
- 52 žmonės
Pridėkite tai, ką žinote apie funkciją.
y = 359.0651689(1 - .12) x
y = 359.0651689(1 - .12) 15
Norėdami rasti, naudokite operacijų tvarką y.
y = 359.0651689(.88)15 (Skliaustas)
y = 359,0651689 (.146973854) (eksponentas)
y = 52.77319167 (dauginti).