Binominiai pasiskirstymai yra svarbi atskira klasė tikimybiniai pasiskirstymai. Šie paskirstymo tipai yra keletas n nepriklausomi Bernoulli tyrimai, kurių kiekvienas turi pastovią tikimybę p sėkmės. Kaip ir bet koks tikimybių pasiskirstymas, mes norėtume žinoti, koks jo vidurkis ar centras. Dėl to mes tikrai klausiame: „Kas yra tikėtina vertė binominio paskirstymo? “
Intuicija vs. Įrodymas
Jei atidžiai pagalvosime apie a dvinaris skirstinys, nėra sunku nustatyti, kad laukiamas šio tipo tikimybės pasiskirstymo vertė yra NP Jei norite pateikti keletą trumpų pavyzdžių, apsvarstykite šiuos dalykus:
- Jei išmesime 100 monetų, ir X yra galvų skaičius, laukiama vertė X yra 50 = (1/2) 100.
- Jei mes vykdome kelių pasirinkimų testą su 20 klausimų ir kiekvienas klausimas turi keturis pasirinkimus (tik vieną iš klausimų) kuris teisingas), tada atsitiktinis atspėjimas reikštų, kad tikimės sulaukti (1/4) 20 = 5 klausimų teisinga.
Abiejuose šiuose pavyzdžiuose mes tai matome E [X] = n p. Dviejų atvejų nepakanka išvadai padaryti. Nors intuicija yra gera priemonė, kuria vadovaujamės, neužtenka suformuoti matematinį argumentą ir įrodyti, kad kažkas yra tiesa. Kaip galutinai įrodyti, kad šio paskirstymo vertė iš tikrųjų yra
NP?Remiantis numatomos vertės ir tikimybės masės funkcijos apibrėžimu dvinaris skirstinys apie n sėkmės tikimybės tyrimai p, galime parodyti, kad mūsų intuicija sutampa su matematinio griežtumo vaisiais. Savo darbe turime būti šiek tiek atsargūs ir imlūs manipuliuodami binominiu koeficientu, kurį suteikia derinių formulė.
Mes pradedame naudoti formulę:
E [X] = Σ x = 0n x C (n, x) px(1 p)n - x.
Kadangi kiekvienas sumos terminas yra dauginamas iš x, termino vertė, atitinkanti x = 0 bus 0, taigi mes iš tikrųjų galime rašyti:
E [X] = Σ x = 1n x C (n, x) p x (1 - p) n - x .
Manipuliuodamas faktoriais, susijusiais su C (n, x) galime perrašyti
x C (n, x) = n C (n - 1, x - 1).
Tai tiesa, nes:
x C (n, x) = xn! / (x! (n - x)!) = n! / ((x - 1)! (n - x)!) = n (n - 1)! / (( x - 1)! ((n - 1) - (x - 1))!) = n C (n - 1, x - 1).
Tai seka:
E [X] = Σ x = 1n n C (n - 1, x - 1) p x (1 - p) n - x .
Mes išskiriame n ir vienas p iš aukščiau pateiktos išraiškos:
E [X] = np Σ x = 1n C (n - 1, x - 1) p x - 1 (1 - p) (n - 1) - (x - 1) .
Kintamųjų pasikeitimas r = x - 1 suteikia mums:
E [X] = np Σ r = 0n - 1 C (n - 1, r) p r (1 - p) (n - 1) - r .
Pagal binominę formulę (x + y)k = Σ r = 0 kC (k, r) xr yk - r aukščiau pateiktą apibendrinimą galima perrašyti:
E [X] = (np) (p + (1 - p))n - 1 = np.
Aukščiau pateiktas argumentas nuėjo ilgą kelią. Nuo pat pradžių apibrėždami tikimybinę binominio paskirstymo vertės ir tikimybės masės funkciją, mes įrodėme, ką mums pasakė mūsų intuicija. Numatoma vertė dvinaris skirstinysB (n, p) yra n p.