Matematikoje simboliai, kurie turi tam tikros reikšmės anglų kalba gali reikšti labai specializuotus ir skirtingus dalykus. Pavyzdžiui, apsvarstykite šią išraišką:
3!
Ne, mes nenaudojome šauktukas parodyti, kad džiaugiamės trimis, ir neturėtume skaityti paskutinio sakinio pabrėždami. Matematikoje išraiška 3! skaitomas kaip „trijų faktorių“ ir yra išties trumpas būdas žymėti kelių iš eilės sveikų skaičių padauginimą.
Kadangi matematikoje ir statistikoje yra daugybė vietų, kur turime padauginti skaičius kartu, koeficientas yra gana naudingas. Kai kurios pagrindinės vietos, kur jis rodomas, yra kombinacinis pobūdis ir tikimybė skaičiavimas.
Apibrėžimas
Faktoriaus apibrėžimas yra toks, kad bet kuris teigiamas sveikas skaičius n, faktorinė:
n! = n x (n -1) x (n - 2) x... x 2 x 1
Mažų vertybių pavyzdžiai
Pirmiausia apžvelgsime keletą faktoriaus su mažomis reikšmėmis pavyzdžių n:
- 1! = 1
- 2! = 2 x 1 = 2
- 3! = 3 x 2 x 1 = 6
- 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24
- 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120
- 6! = 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 720
- 7! = 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 5040
- 8! = 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 40320
- 9! = 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 362880
- 10! = 10 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 3628800
Kaip matome, faktorius labai greitai išauga. Kažkas, kas gali atrodyti maža, pavyzdžiui, 20! iš tikrųjų turi 19 skaitmenų.
Faktorius nesunku apskaičiuoti, tačiau juos apskaičiuoti gali būti šiek tiek nuobodu. Laimei, daugelis skaičiuotuvų turi faktorinį raktą (ieškokite! simbolis). Ši skaičiuoklės funkcija automatizuos daugybą.
Ypatingas atvejis
Kita faktoriaus vertė, kuriai negalioja aukščiau pateiktas standartinis apibrėžimas, yra nulis faktorinis. Jei mes laikysimės formulės, tada mes negautume jokios 0 vertės!. Nėra teigiamų sveikųjų skaičių, mažesnių už 0. Dėl kelių priežasčių tikslinga apibrėžti 0! = 1. Šios vertės koeficientas ypač išryškėja formulėse deriniai ir permutacijos.
Sudėtingesni skaičiavimai
Atliekant skaičiavimus, svarbu pagalvoti prieš paspaudžiant faktoriaus klavišą mūsų skaičiuotuve. Norėdami apskaičiuoti tokią išraišką kaip 100! / 98! yra keletas skirtingų būdų tai padaryti.
Vienas iš būdų yra naudoti a skaičiuoklė rasti tiek 100! ir 98!, tada padalykite vienas į kitą. Nors tai yra tiesioginis būdas apskaičiuoti, su juo siejama tam tikrų sunkumų. Kai kurie skaičiuotuvai negali valdyti 100 išraiškų! = 9,33262154 x 10157. (10 sakinys157 yra mokslinis žymėjimas, reiškiantis, kad dauginame iš 1, po 157 nulių.) Šis skaičius yra ne tik didelis, bet ir tikrosios 100 vertės įvertinimas!
Kitas būdas supaprastinti išraišką tokiomis faktorijomis, kaip čia matoma, visai nereikalauja skaičiuotuvo. Būdas išspręsti šią problemą yra pripažinti, kad galime perrašyti 100! o ne kaip 100 x 99 x 98 x 97 x... x 2 x 1, o ne kaip 100 x 99 x 98! Išraiška 100! / 98! dabar tampa (100 x 99 x 98!) / 98! = 100 x 99 = 9900.