Kaip išvesti derinių formulę

Pamatęs formules, išspausdintas vadovėlyje ar užrašytas ant lentos, kartais nustebina išsiaiškinti, kad daugelį šių formulių galima išvesti iš kai kurių pagrindinių apibrėžimų ir kruopščiai apgalvoti. Tai ypač pasakytina apie tikimybę tiriant derinių formulę. Šios formulės išvedimas iš tikrųjų remiasi daugybos principu.

Tarkime, kad yra užduotis, kurią reikia atlikti, ir ši užduotis yra suskaidyta į du veiksmus. Pirmasis žingsnis gali būti padarytas k būdų ir antrasis žingsnis gali būti padarytas n būdai. Tai reiškia, kad po padauginus šie skaičiai kartu, užduočių atlikimo būdų skaičius yra nk.

Pvz., Jei turite dešimt rūšių ledų, iš kurių galite pasirinkti, ir tris skirtingus padažus, kiek galite pagaminti iš vieno šaukštelio, vieno iš viršutinių saulėgrąžų? Padauginkite tris iš 10, kad gautumėte 30 saulėgrąžų.

Dabar naudokite daugybos principą, kad gautumėte formulę derinių skaičiui r elementai, paimti iš n elementai. Leisti P (n, r) žymėti skaičių

Pagalvokite apie tai, kas nutinka formuojant r elementai iš viso n. Pažvelkite į tai kaip į dviejų etapų procesą. Pirmiausia rinkitės r elementai iš n. Tai yra derinys ir yra C(n, r) būdai tai padaryti. Antrasis proceso žingsnis yra užsakymas r elementai su r pasirinkimas pirmajam, r - 1 pasirinkimas antrai, r - 2 trečiam, 2 pasirinkimai priešpaskutiniam ir 1 paskutiniam. Daugybos principu yra r x (r -1) x... x 2 x 1 = r! būdai tai padaryti. Ši formulė parašyta su faktorinis žymėjimas.

Norėdami dar kartą pasakyti, P(n,r ), būdų, kaip suformuoti r elementai iš viso n lemia:

1. Sudarant r elementai iš viso n bet kuriame iš C(n,r ) būdai
2. Užsakius šiuos r elementai bet kuris iš r! būdai.

Pagal daugybos principą daugybė būdų, kaip suformuoti permutaciją P(n,r ) = C(n,r ) x r!.

Naudojant permutacijų formulę P(n,r ) = n!/(n - r)!, kurį galima pakeisti aukščiau pateikta formule:

n!/(n - r)! = C(n,r ) r!.

Dabar išspręskite tai, derinių skaičius, C(n,r ) ir pamatykite tai C(n,r ) = n!/[r!(n - r)!].

Kaip pademonstruota, šiek tiek minties ir algebros galima nueiti ilgą kelią. Taip pat galima nustatyti kitas tikimybių ir statistikos formules, atsargiai naudojant apibrėžimus.