Yahtzee žaidimas apima penkių standartinių kauliukų naudojimą. Kiekviename kėlinyje žaidėjams išdalijami trys ritiniai. Po kiekvieno ritinio gali būti laikomas bet koks kauliukų skaičius, siekiant gauti tam tikrus šių kauliukų derinius. Kiekviena skirtingo tipo kombinacija yra verta skirtingo taškų skaičiaus.
Vienas iš šių derinių tipų vadinamas pilnu namu. Kaip ir pilnas namas pokerio žaidime, šį derinį sudaro trys iš tam tikro skaičiaus ir pora iš skirtingo skaičiaus. Kadangi Yahtzee susijęs su atsitiktiniu kauliukų valcavimu, šį žaidimą galima analizuoti naudojant tikimybę, kad būtų galima nustatyti, kaip tikėtina, kad vienu ritiniu bus sukamas visas namas.
Prielaidos
Pradėsime išsakydami savo prielaidas. Mes manome, kad naudojami kauliukai yra teisingi ir nepriklausomi vienas nuo kito. Tai reiškia, kad turime vienodą pavyzdinę erdvę, kurią sudaro visi įmanomi penkių kauliukų ritinėliai. Nors Yahtzee žaidimas leidžia atlikti tris ritinius, mes apsvarstysime tik atvejį, kai pilną namą gauname vienu ritiniu.
Erdvės pavyzdys
Kadangi mes dirbame su uniformamėginio vieta, mūsų tikimybės apskaičiavimas tampa poros skaičiavimo problemų skaičiavimu. Pilno namo tikimybė yra pilno namo apipjaustymo būdų skaičius, padalytas iš rezultatų pavyzdžio erdvėje skaičiaus.
Rezultatų skaičius mėginio vietoje yra aiškus. Kadangi yra penki kauliukai ir kiekvienas iš šių kauliukų gali turėti vieną iš šešių skirtingų rezultatų, baigčių skaičius mėginio vietoje yra 6 x 6 x 6 x 6 x 6 = 65 = 7776.
Pilnų namų skaičius
Toliau mes apskaičiuojame, kaip apversti visą namą. Tai yra sunkesnė problema. Norėdami turėti pilną namą, mums reikia trijų vienos rūšies kauliukų, o po jų - poros skirtingo tipo kauliukų. Padalinsime šią problemą į dvi dalis:
- Kiek yra įvairių tipų pilnų namų, kuriuos būtų galima valcuoti?
- Kiek yra tam tikros rūšies pilnų namų valcavimo būdų?
Sužinoję kiekvieno iš jų skaičių, galime juos padauginti, kad gautume bendrą pilnų namų, kuriuos galima suvynioti, skaičių.
Pirmiausia apžvelgiame įvairių tipų pilnų namų, kuriuos galima suvynioti, skaičių. Bet kuris iš skaičių 1, 2, 3, 4, 5 ar 6 gali būti naudojamas trijų rūšių. Liko penki poros numeriai. Taigi yra 6 x 5 = 30 skirtingų tipų pilnų namų derinių, kuriuos galima suvynioti.
Pvz., Mes galime turėti 5, 5, 5, 2, 2 kaip vieno tipo pilnus namus. Kitas pilno namo tipas būtų 4, 4, 4, 1, 1. Kitas dar būtų 1, 1, 4, 4, 4, kuris skiriasi nuo ankstesniojo pilnojo namo, nes keista keturių ir kitų vaidmenys.
Dabar mes nustatome skirtingus būdus, kaip apversti tam tikrą pilną namą. Pavyzdžiui, kiekvienas iš šių elementų suteikia mums tą patį trijų keturių ir dviejų pilnų namą:
- 4, 4, 4, 1, 1
- 4, 1, 4, 1, 4
- 1, 1, 4, 4, 4
- 1, 4, 4, 4, 1
- 4, 1, 4, 4, 1
Matome, kad yra bent penki būdai, kaip apversti tam tikrą pilną namą. Ar yra kitų? Net jei ir toliau išvardytume kitas galimybes, kaip sužinoti, kad mes jas visas radome?
Svarbiausia atsakyti į šiuos klausimus yra suvokti, kad susiduriame su skaičiavimo problema, ir nustatyti, su kokia skaičiavimo problema mes dirbame. Yra penkios pozicijos, o tris iš jų reikia užpildyti keturiomis. Tvarka, kuria mes sudedame ketvertą, nesvarbu, kol bus užpildytos tikslios vietos. Kai nustatoma keturkojų padėtis, jų padėjimas vyksta automatiškai. Dėl šių priežasčių turime apsvarstyti derinys iš penkių pozicijų, užimtų tris vienu metu.
Norėdami gauti, naudojame kombinuotą formulę C(5, 3) = 5! / (3! 2!) = (5 x 4) / 2 = 10. Tai reiškia, kad yra 10 skirtingų būdų, kaip suprojektuoti pilną namą.
Sudėjus visa tai, turime daugybę pilnų namų. Yra 10 x 30 = 300 būdų, kaip gauti pilną namą iš vieno ritinio.
Tikimybė
Dabar pilno namo tikimybė yra paprastas padalijimo skaičiavimas. Kadangi yra 300 būdų, kaip sukti visą namą vienu ritiniu, ir yra 7776 galimi penkių kauliukų ritinėliai, pilno namo apvirtimo tikimybė yra 300/7776, tai yra arti 1/26 ir 3,85%. Tai 50 kartų didesnė tikimybė, nei suvynioti Yahtzee į vieną ritinį.
Žinoma, labai tikėtina, kad pirmasis ritinys nėra pilnas namas. Jei taip yra, tada mums leidžiama dar du ritinėliai, todėl didesnis tikimybė, kad bus pastatytas visas namas. Dėl visų galimų situacijų, į kurias reikėtų atsižvelgti, nustatyti šios tikimybės yra daug sudėtingesnė.