Kas yra atvirkščiai, priešingai ir atvirkščiai?

Sąlyginiai teiginiai visur pasirodo. Matematikoje ar kitur nereikia ilgai užtrukti, kol bus kažkas tokio: „Jei P tada Q. “ Sąlyginiai teiginiai iš tiesų yra svarbūs. Taip pat svarbu teiginiai, kurie yra susiję su pirminiu sąlyginiu teiginiu keičiant P, Q ir teiginio neigimas. Pradėdami nuo originalaus teiginio, mes baigiamės trimis naujais sąlyginiais teiginiais, kurie yra pavadinti atvirkštiniais, priešinginiais ir atvirkščiai.

Prieš apibrėždami sąlyginį teiginį priešingai, priešingai ir atvirkščiai, turime išnagrinėti neigimo temą. Kiekvienas teiginys logika yra teisinga arba klaidinga. Teigimo neigimas reiškia tik žodžio „ne“ įterpimą į tinkamą teiginio dalį. Žodis „ne“ pridedamas taip, kad pakeistų teiginio teisingumą.

Tai padės pažvelgti į pavyzdį. Pareiškimas „The taisyklingas trikampis yra lygiakraštis “turi neigimą„ Dešinysis trikampis nėra lygiakraštis “. Neigimas „10 yra lyginis skaičius“ reiškia posakį „10 nėra lyginis skaičius“. Žinoma, už tai paskutiniame pavyzdyje galėtume naudoti nelyginio skaičiaus apibrėžimą ir vietoj to pasakyti: „10 yra nelyginis skaičius“. Pažymime, kad teiginio tiesa yra priešinga teiginiui neigimas.

Mes išnagrinėsime šią idėją abstrakčiau. Kai pareiškimas P tiesa, teiginys „ne PYra klaidinga. Panašiai, jei P yra klaidinga, jos neigimas „neP" tiesa. Neigimai paprastai žymimi tilde ~. Taigi užuot rašęs „ne PMes galime parašyti ~P.

Dabar galime apibrėžti sąlygiškojo teiginio atvirkštinį, kontrapozicinį ir atvirkštinį. Mes pradedame nuo sąlyginio sakinio „Jei P tada Q.”

• Sąlyginio teiginio priešingybė yra „Jei Q tada P.”
• Sąlyginio teiginio priešpriešas yra „Jei ne Q tada ne P.”
• Sąlyginio teiginio atvirkštinė dalis yra „Jei ne P tada ne Q.”

Pažiūrėsime, kaip šie teiginiai veikia su pavyzdžiu. Tarkime, mes pradedame nuo sąlyginio sakinio „Jei praėjusią naktį lijo, tada šaligatvis yra šlapias“.

• Sąlyginio teiginio priešingybė yra „Jei šaligatvis yra šlapias, tai praėjusią naktį lijo“.
• Sąlyginio teiginio priešpriešas yra „Jei šaligatvis nėra šlapias, tai praėjusią naktį lietaus nebuvo“.
• Sąlyginio teiginio atvirkštinė dalis yra „Jei praėjusią naktį lietaus nebuvo, tada šaligatvis nėra šlapias“.

Mums gali kilti klausimas, kodėl svarbu suformuoti šiuos kitus sąlyginius teiginius iš pradinio. Atidus žvilgsnis į aukščiau pateiktą pavyzdį ką nors atskleidžia. Tarkime, kad originalus teiginys „Jei praėjusią naktį lijo, tada šaligatvis yra šlapias“ yra teisingas. Kurie iš kitų teiginių taip pat turi būti teisingi?

• Priešingas posakis „Jei šaligatvis yra šlapias, tai praėjusią naktį lijo“ nebūtinai yra tiesa. Šaligatvis gali būti šlapias dėl kitų priežasčių.
• Atvirkštinis žodis „Jei praėjusią naktį nebuvo lietaus, tada šaligatvis nėra šlapias“ nebūtinai yra tiesa. Vėlgi, vien todėl, kad nebuvo lietaus, dar nereiškia, kad šaligatvis nėra šlapias.
• Kontrapozicija „Jei šaligatvis nėra šlapias, tada praėjusią naktį lietaus nebuvo“, yra tikras teiginys.

Tai, ką matome iš šio pavyzdžio (ir ką galima matematiškai įrodyti), yra tai, kad sąlyginis teiginys turi tokią pačią tiesinę vertę kaip ir jo priešiškumas. Mes sakome, kad šie du teiginiai logiškai yra lygiaverčiai. Mes taip pat matome, kad sąlyginis teiginys nėra logiškai lygiavertis jo atvirkštiniam ir atvirkščiam.

Kadangi sąlyginis teiginys ir jo priešpriešinis teiginys yra logiškai lygiaverčiai, tai galime naudoti savo naudai, kai įrodome matematines teoremas. Užuot tiesiogiai įrodę sąlyginio teiginio tiesą, mes galime naudoti netiesioginio įrodymo strategiją, siekdami įrodyti to teiginio priešingumą. Kontrapozityvūs įrodymai veikia todėl, kad jei kontraposityvas yra tikras, dėl loginės atitikties, originalus sąlyginis teiginys taip pat yra teisingas.

Pasirodo, kad net ir atvirkštinė ir atvirkštinė logiškai nėra lygiavertės pirminiam sąlyginiam teiginiui, jie logiškai yra lygiaverčiai vienas kitam. Tai lengva paaiškinti. Mes pradedame nuo sąlyginio sakinio „Jei Q tada P”. Šio teiginio priešingumas yra „Jei ne P tada ne Q. “ Kadangi atvirkštinė yra atvirkštinė priešingybė, atvirkštinė ir atvirkštinė logiškai yra lygiavertės.