Kokie yra De Morgano įstatymai?

Matematinė statistika kartais reikalauja naudoti nustatytą teoriją. De Morgano įstatymai yra du teiginiai, apibūdinantys sąveiką tarp įvairių nustatytų teorijos operacijų. Įstatymai galioja bet kuriems dviem rinkiniams A ir B:

1. (A ∩ B)^C = A^C U B^C.
2. (A U B)^C = A^C ∩ B^C.

Paaiškinę, ką reiškia kiekvienas iš šių teiginių, panagrinėsime kiekvieno iš jų panaudojimo pavyzdį.

Norėdami suprasti, ką sako De Morgano įstatymai, turime prisiminti keletą apibrėžtų teorijos operacijų apibrėžimų. Tiksliau, mes turime žinoti apie sąjunga ir sankryža iš dviejų rinkinių ir rinkinio komplemento.

De Morgano įstatymai yra susiję su sąjungos, sankirtos ir papildymo sąveika. Prisiminkite, kad:

• Rinkinių sankirta A ir B susideda iš visų elementų, būdingų abiem A ir B. Sankryža žymima A ∩ B.
• Rinkinių sąjunga A ir B susideda iš visų elementų, kurie A arba B, įskaitant abiejų rinkinių elementus. Sankryža žymima A U B.
• Rinkinio papildymas A susideda iš visų elementų, kurie nėra A. Šį papildymą žymi A^C.

Dabar, kai mes priminome šias pagrindines operacijas, pamatysime De Morgano įstatymų pareiškimą. Kiekvienai komplektų porai A ir B mes turime:

1. (A ∩ B)^C = A^C U B^C
2. (A U B)^C = A^C ∩ B^C

Šiuos du teiginius galima iliustruoti panaudojant Venno diagramas. Kaip matyti toliau, mes galime parodyti naudodami pavyzdį. Norėdami parodyti, kad šie teiginiai yra teisingi, turime įrodyti jiems naudojant apibrėžtų teorijos operacijų apibrėžimus.

Pavyzdžiui, apsvarstykite realieji skaičiai nuo 0 iki 5. Mes tai rašome su pertraukomis [0, 5]. Šiame rinkinyje mes turime A = [1, 3] ir B = [2, 4]. Be to, atlikę pagrindines operacijas, mes turime:

• Papildymas A^C = [0, 1) U (3, 5]
• Papildymas B^C = [0, 2) U (4, 5]
• Sąjunga A U B = [1, 4]
• Sankryža A ∩ B = [2, 3]

Pirmiausia apskaičiuojame sąjungą A^C U B^C. Matome, kad [0, 1) U (3, 5] sąjunga su [0, 2) U (4, 5] yra [0, 2) U (3, 5]. Sankryža A ∩ B yra [2, 3]. Matome, kad šio rinkinio [2, 3] komplementas taip pat yra [0, 2) U (3, 5]. Tokiu būdu mes tai parodėme A^C U B^C = (A ∩ B)^C.

Dabar matome [0, 1) U (3, 5] sankirtą su [0, 2) U (4, 5] yra [0, 1) U (4, 5]. Taip pat matome, kad [1, 4] komplementas taip pat yra [0, 1) U (4, 5]. Tokiu būdu mes tai parodėme A^C ∩ B^C = (A U B)^C.

Per visą logikos istoriją tokie žmonės kaip Aristotelis ir Williamas iš Ockhamo padarė pareiškimus, prilygstančius De Morgano įstatymams.

De Morgano įstatymai yra pavadinti Augusto De Morgano, gyvenusio 1806–1871 m., Vardu. Nors jis šių įstatymų neatrado, jis buvo pirmasis, kuris šiuos teiginius oficialiai pristatė naudodamas matematinę formuluotę teiginių logikoje.