Kas yra tuščias rinkinys rinkinio teorijoje?

Kada niekas negali būti kažkas? Tai atrodo kvailas klausimas ir gana paradoksalu. Matematinėje rinkinio teorijos srityje įprasta, kad niekas nėra kažkas, išskyrus nieką. Kaip tai gali būti?

Kai suformuojame rinkinį, kuriame nėra elementų, mes nieko nebeturime. Mes turime rinkinį, kuriame nėra nieko. Yra specialus rinkinio pavadinimas, kuriame nėra elementų. Tai vadinama tuščiu arba niekiniu rinkiniu.

Tuščio rinkinio apibrėžimas yra gana subtilus ir reikalauja šiek tiek pagalvoti. Svarbu atsiminti, kad mes galvojame apie rinkinys kaip elementų kolekcija. Pats rinkinys skiriasi nuo jame esančių elementų.

Pavyzdžiui, pažvelgsime į {5}, tai yra rinkinys, kuriame yra 5 elementas. Rinkinys {5} nėra skaičius. Tai yra rinkinys, kurio elementas yra skaičius 5, o 5 yra skaičius.

Panašiai tuščias rinkinys nėra niekas. Tai yra rinkinys, kuriame nėra elementų. Tai padeda galvoti apie rinkinius kaip konteinerius, o elementus mes įdėjome į juos. Tuščias konteineris vis dar yra konteineris ir yra analogiškas tuščiam rinkiniui.

Tuščias rinkinys yra unikalus, todėl apie jį visiškai tikslinga kalbėti tuščias rinkinys, o ne an tuščias rinkinys. Dėl to tuščias rinkinys skiriasi nuo kitų rinkinių. Juose yra be galo daug rinkinių, kuriuose yra vienas elementas. Rinkiniai {a}, {1}, {b} ir {123} kiekvienas turi vieną elementą, taigi jie yra lygiaverčiai vienas kitam. Kadangi patys elementai skiriasi vienas nuo kito, rinkiniai nėra lygūs.

Aukščiau pateiktuose pavyzdžiuose, turinčiuose vieną elementą, nėra nieko ypatingo. Su viena išimtimi, bet kokiam skaičiavimo skaičiui ar begalybei yra be galo daug tokio dydžio rinkinių. Išimtis yra skaičius nulis. Yra tik vienas rinkinys, tuščias rinkinys, kuriame nėra jokių elementų.

Matematinis šio fakto įrodymas nėra sunkus. Pirmiausia darome prielaidą, kad tuščias rinkinys nėra unikalus, kad juose yra du rinkiniai, kuriuose nėra elementų, ir tada naudokitės keliomis aibių teorijos savybėmis, norėdami parodyti, kad ši prielaida reiškia prieštaravimą.

Tuščias rinkinys žymimas simboliu ∅, kuris yra kilęs iš panašaus danų abėcėlės simbolio. Kai kurios knygos nurodo tuščią rinkinį, kurio alternatyvus pavadinimas yra niekinis rinkinys.

Kadangi yra tik vienas tuščias rinkinys, verta pamatyti, kas atsitinka, kai nustatytos operacijos sankryža, sąjunga ir papildymas naudojami su tuščiu rinkiniu ir bendru rinkiniu, kurį mes žymėsime autorius X. Taip pat įdomu atsižvelgti į tuščio rinkinio pogrupį ir kada yra tuščio rinkinio pogrupis. Šie faktai yra surinkti žemiau:

• sankryža bet kurio rinkinio su tuščiu rinkiniu yra tuščias rinkinys. Taip yra todėl, kad tuščiame rinkinyje nėra elementų, todėl abu rinkiniai neturi bendrų elementų. Simboliuose rašome X ∩ ∅ = ∅.
• sąjunga bet kurio rinkinio su tuščiu rinkiniu yra tas rinkinys, nuo kurio mes pradėjome. Taip yra todėl, kad tuščiame rinkinyje nėra elementų, todėl formuodami sąjungą mes nepridedame jokių elementų prie kito rinkinio. Simboliuose rašome X U ∅ = X.
• papildyti tuščio rinkinio yra universali parametrų rinkinys, kuriame dirbame. Taip yra todėl, kad visų elementų, kurių nėra tuščiame rinkinyje, rinkinys yra tik visų elementų rinkinys.
• Tuščias rinkinys yra bet kurio rinkinio pogrupis. Taip yra todėl, kad mes sudarome rinkinio pogrupius X pasirinkdami (arba nepasirinkdami) elementus iš X. Viena pogrupio galimybė yra nenaudoti jokių elementų iš X. Tai suteikia mums tuščią rinkinį.