Įvairūs arabų kilmės žodžio „algebra“ dariniai buvo pateikti įvairių rašytojų. Pirmasis šio žodžio paminėjimas yra Mahommedo ben Musa al-Khwarizmi (Hovarezmi), suklestėjusio maždaug 9-ojo amžiaus pradžioje, kūrinio pavadinime. Visas pavadinimas yra ilm al-jebr wa'l-muqabala, kuriame pateikiamos restitucijos ir palyginimo, opozicijos ir palyginimo, skyros ir lygties idėjos, jebr kildinamas iš veiksmažodžio jabara, susijungti, ir muqabala, nuo gabala, padaryti lygų. (Šaknis jabara taip pat yra sutiktas žodžiu Algebrista, o tai reiškia „kaulų rinkėjas“ ir vis dar plačiai naudojamas Ispanijoje.) Tą patį darinį pateikia ir Lucasas Paciolus (Luca Pacioli), kuris atkuria frazę transliteruota forma alghebra e almucabala, ir priskiria meno išradimą arabams.
Kiti rašytojai žodį kildino iš arabų dalelės al (konkretus straipsnis) ir gerberis, reiškia „žmogus“. Vis dėlto Geberis buvo garsaus maorių filosofo, kuris suklestėjo, vardas apie XI ar XII amžių buvo manoma, kad jis buvo algebros, kuri nuo šiol įamžino savo vardas. Peterio Ramuso (1515–1572) parodymai šiuo klausimu yra įdomūs, tačiau jis nesuteikia autoriteto savo išskirtiniams teiginiams. Pratarmėje jo
„Arithmeticae libri duo“ ir „totidem Algebrae“ (1560 m.) Jis sako: „Vardas Algebra yra siriškas, reiškiantis nepriekaištingo žmogaus meną ar doktriną. Geberis, sirų kalba, yra vardas, kuris taikomas vyrams, ir kartais yra garbės žodis, kaip meistras ar gydytojas tarp mūsų. Buvo tam tikras išmoktas matematikas, kuris savo algebrą, parašytą sirų kalba, atsiuntė Aleksandrui Didžiajam, ir jis tai pavadino almucabala, tai yra tamsių ar paslaptingų dalykų knyga, kurią kiti mieliau vadintų algebros doktrina. Šiai dienai ta pati knyga yra labai vertinama tarp Rytų tautų išmoktų, o indėnai, kultivuojantys šį meną, vadinami aljabra ir alboret; nors paties autoriaus vardas nėra žinomas. "Neaiškus šių teiginių autoritetas, ir ankstesnio paaiškinimo pagrįstumas privertė filologus sutikti su išvada nuo al ir jabara. Robertas Recorde'as savo Witte akmuo (1557) naudoja variantą Algeberis, o Johnas Dee (1527–1608) tai patvirtina algiebar, ir ne algebra, yra teisinga forma ir kreipiasi į arabų Avicenna valdžią.Nors terminas „algebra“ dabar yra visuotinai vartojamas, Renesanso laikais italų matematikai vartojo įvairius kitus pavadinimus. Taigi mes pastebime, kad Paciolus tai vadina l'Arte Magiore; Ditta dal vulgo la Cosa virš Algebra ir Almucabala. Pavadinimas l'arte magiore, didesnis menas, skirtas atskirti nuo l'arte minore, menkiausias menas - terminas, kurį jis pritaikė šiuolaikinei aritmetikai. Antrasis jo variantas, la regula de la cosa, daikto taisyklė ar nežinomas kiekis, atrodo, buvo plačiai vartojami Italijoje, ir žodis cosa keletą šimtmečių buvo saugomas coss ar algebra, cossic ar algebraic, cossist ar algebraist formomis, ir c. Kiti italų rašytojai tai pavadino Regula rei et census, daikto ir gaminio taisyklė arba šaknis ir kvadratas. Principas, kuriuo grindžiama ši išraiška, greičiausiai slypi tame, kad jis išmatavo jų pasiekimai algebroje, nes jie negalėjo išspręsti aukštesnių lygčių nei kvadratinės ar kvadratas.
Pranciškus Vietas (Francois Viete) taip pavadino Ypatinga aritmetika, atsižvelgiant į rūšių kiekius, kuriuos jis simboliškai vaizdavo įvairiomis abėcėlės raidėmis. Seras Izaokas Niutonas pristatė terminą „universali aritmetika“, nes jis susijęs su operacijų doktrina, kuriai įtakos neturi skaičiai, o bendrieji simboliai.
Nepaisant šių ir kitų idiosinkratiškų pavadinimų, Europos matematikai laikėsi senesnio vardo, kuriuo šis dalykas dabar yra visuotinai žinomas.
Tęsinys antrame puslapyje.
Šis dokumentas yra straipsnis apie Algebrą iš 1911 m. Enciklopedijos leidimo, kuris čia nėra saugomas autorių teisių JAV straipsnis yra viešas domenas, ir jūs galite nukopijuoti, atsisiųsti, atsispausdinti ir išplatinti šį darbą, kaip matote tinka.
Buvo dedamos visos pastangos, kad šis tekstas būtų pateiktas tiksliai ir švariai, tačiau nėra garantijų dėl klaidų. Nei Melissa Snell, nei About negali būti laikomi atsakingi už bet kokias problemas, iškilusias dėl šio dokumento teksto ar bet kurios elektroninės formos.
Bet kurio meno ar mokslo išradimą sunku priskirti konkrečiam amžiui ar rasei. Keletas fragmentiškų įrašų, kuriuos mums sukūrė praeities civilizacijos, neturi būti laikomi reprezentuojančiais jų žinių visuma, o mokslo ar meno praleidimas nebūtinai reiškia, kad tai buvo mokslas ar menas nežinoma. Anksčiau buvo paprotys priskirti algebros išradimą graikams, tačiau nuo tada, kai Dėl Eisenlohro papiruso šis požiūris pasikeitė, nes šiame darbe yra ryškūs algebrinės kalbos požymiai analizė. Ypatingas problemos krūvas (hau) ir jo septintasis leidžia 19 išspręsti, nes dabar turėtume išspręsti paprastą lygtį; tačiau Ahmesas keičia savo metodus kitose panašiose problemose. Šis atradimas reiškia, kad algebra buvo išrasta dar apie 1700 BC, jei ne anksčiau.
Tikėtina, kad egiptiečių algebra buvo grubiausio pobūdžio, nes priešingu atveju turėtume tikėtis, kad jos pėdsakų rasime graikų aeometrų darbuose. iš kurių Thalesas iš Mileto (640–546 B.C.) buvo pirmasis. Nepaisant rašytojų įžvalgumo ir raštų skaičiaus, visi bandymai iš jų geometrinės analizės ištraukti algebrinę analizę teoremos ir problemos buvo bevaisės, ir paprastai pripažįstama, kad jų analizė buvo geometrinė ir turėjo mažai arba visai neturėjo ryšio algebra. Pirmasis išlikęs darbas apie algebros traktatą yra Diophantus (q.v.), Aleksandrijos matematikas, suklestėjęs apie A.D. 350. Originalas, kurį sudarė pratarmė ir trylika knygų, dabar yra pamestas, tačiau turime pirmųjų šešių knygų vertimą į lotynų kalbą ir kito fragmento daugiakampiais skaičiais, kuriuos pateikė Xslanderis iš Augsburgo (1575 m.), ir lotynų ir graikų kalbų vertimus pateikė Gasparas Bachet de Merizacas (1621-1670). Paskelbti kiti leidiniai, iš kurių galime paminėti Pierre'o Fermat'o (1670 m.), T. L. Heath's (1885) ir p. Skardinė (1893–1895). Šio darbo, skirto vienam Dionizui, pratarmėje Diophantus paaiškina savo žymėjimą, pavadindamas kvadrato, kubo ir ketvirtosios galios, dinamis, kubas, dinamodinimus ir tt, atsižvelgiant į indeksai. Nežinomą jis apibūdina aritmos, skaičius, o sprendimuose jis pažymi jį paskutinėmis s; jis paaiškina galių generavimą, paprastų dydžių daugybos ir padalijimo taisykles, tačiau jis nenagrinėja junginio sudėjimo, atimties, daugybos ir padalijimo kiekiai. Tada jis aptaria įvairius lygčių supaprastinimo principus, pateikdamas metodus, kurie vis dar naudojami. Kūrinio kūne jis demonstruoja didelį išradingumą, sumažindamas savo problemas iki paprastų lygčių, kurios pripažįsta tiesioginį sprendimą, arba patenka į klasę, vadinamą neapibrėžtomis lygtimis. Pastarąją klasę jis taip įžvalgiai aptarė, kad jos dažnai vadinamos diofantino problemomis, ir jų sprendimo būdus kaip diofantinas. analizė (žr. EQUATION, Neapibrėžta.) Sunku patikėti, kad šis Diophantus darbas kilo spontaniškai bendro sąstingio laikotarpiu. Labiausiai tikėtina, kad jis buvo skolingas ankstesniems rašytojams, kuriuos jis praleidžia paminėti ir kurių darbai dabar yra prarasti; vis dėlto, bet šiam darbui turėtume priversti manyti, kad graikai graikų beveik nebuvo žinomi, jei ne visiškai.
Romėnams, kurie graikams tapo didžiausia civilizuota Europos galia, nepavyko išsaugoti savo literatūros ir mokslo vertybių; matematika buvo visai pamiršta; Be keleto aritmetinių skaičiavimų patobulinimų, nėra jokios reikšmingos pažangos, kurią reikėtų registruoti.
Chronologiškai plėtodami savo temą, dabar turime atsigręžti į rytus. Ištyrus Indijos matematikų raštus, išryškėjo esminis skirtumas tarp graikų ir Indijos protas, pirmasis buvęs ypač geometrinis ir spekuliacinis, o antrasis - daugiausia aritmetinis praktinis. Manome, kad geometrija buvo apleista, išskyrus atvejus, kai ji buvo naudinga astronomijai; trigonometrija buvo pažengusi į priekį, o algebra patobulėjo kur kas daugiau nei pasiekė Diophantus.
Tęsinys trečiame puslapyje.
Šis dokumentas yra straipsnis apie Algebrą iš 1911 m. Enciklopedijos leidimo, kuris čia nėra saugomas autorių teisių JAV straipsnis yra viešas domenas, ir jūs galite nukopijuoti, atsisiųsti, atsispausdinti ir išplatinti šį darbą, kaip matote tinka.
Buvo dedamos visos pastangos, kad šis tekstas būtų pateiktas tiksliai ir švariai, tačiau nėra garantijų dėl klaidų. Nei Melissa Snell, nei About negali būti laikomi atsakingi už bet kokias problemas, iškilusias dėl šio dokumento teksto ar bet kurios elektroninės formos.
Anksčiausias indų matematikas, apie kurį mes turime tam tikrų žinių, yra Aryabhatta, kuris suklestėjo maždaug 6-ojo mūsų eros amžiaus pradžioje. Šio astronomo ir matematiko šlovė priklauso jo darbui Aryabhattiyam, trečiasis skyrius skirtas matematikai. Gazas, žymus astronomas, matematikas ir scholiastas iš Bhaskaros, cituoja šį darbą ir atskirai mini cuttaca („pulverizatorius“) - prietaisas neapibrėžtoms lygtims spręsti. Henry Thomas Colebrooke, vienas ankstyviausių šiuolaikinių induistų mokslo tyrinėtojų, daro prielaidą, kad traktatas apie Arijabta išplėtė kvadratines lygtis, neapibrėžtas pirmojo laipsnio ir tikriausiai antra. Astronominis kūrinys, vadinamas Surya-siddhanta („žinios apie saulę“), buvo abejotina autorystė ir tikriausiai priklausė IV ar V amžiui Dideli nuopelnai indėnams, kurie užėmė maždaug antrą šimtmetį klestėjusio Brahmaguptos darbą. vėliau. Tai labai domina istorinį studentą, nes jis parodo graikų mokslo įtaką Indijos matematikai iki Aryabhattos. Maždaug po šimtmečio, per kurį matematika pasiekė aukščiausią lygį, suklestėjo Brahmagupta (b. A. D. 598), kurio veikale „Brahma-sphuta-siddhanta“ („Peržiūrėta Brahmos sistema“) yra keli matematikos skyriai. Iš kitų Indijos rašytojų galima paminėti Cridharą, Ganita-sara („Skaičiavimo kvintesencija“) autorę, ir Padmanabha, algebros autorę.
Matematinio sąstingio periodas, pasirodo, turėjo Indijos protą maždaug 40 minučių intervalu kelis šimtmečius, bet kurio kito momento kito autoriaus kūriniai stovi, bet nedaug anksčiau Brahmagupta. Mes kalbame apie Bhaskara Acarya, kurio darbas yra Siddhanta-ciromani („Anastronominės sistemos diademas“), parašytas 1150 m., Yra du svarbūs skyriai, Lilavati („ gražus [mokslas ar menas] “) ir„ Viga-ganita “(„ šaknies ištraukimas “), kuriems paskiriama aritmetika ir algebra.
Matematikos skyrių vertimai į anglų kalbą Brahma-siddhanta ir Siddhanta-ciromani pateikė H. T. Colebrooke (1817 m.) Ir Surya-siddhanta Ate. „Burgess“ su W komentarais. D. Dėl Whitney (1860 m.) Informacijos galima pasikonsultuoti.
Klausimas, ar graikai pasiskolino savo algebrą iš induistų ar atvirkščiai, buvo daug diskutuojamas. Nėra abejonės, kad tarp Graikijos ir Indijos vyko nuolatinis eismas, ir yra daugiau nei tikėtina, kad keičiantis produkcija bus perduotos idėjos. Moritzas Cantor įtaria diofantino metodų įtaką, ypač induistų neapibrėžtų lygčių sprendimai, kai tam tikros techninės sąvokos, tikėtina, yra Graikų kilmės. Vis dėlto tai gali būti tikra, kad indų algebristai buvo daug anksčiau nei Diophantus. Graikijos simbolikos trūkumai buvo iš dalies pašalinti; atėmimas buvo žymimas uždedant tašką virš atimto daikto; daugyba, įrašant bha (bhavita, „produkto“ santrumpa) po fakto; padalijimas, padalijant daliklį po dividendu; ir kvadratinę šaknį, prieš kiekį įterpdami ka (karana santrumpa, neracionali). Nežinomasis buvo vadinamas yavattavat, ir jei jų buvo keli, pirmieji ėmė šį pavadinimą, o kiti buvo pažymėti spalvų pavadinimais; pavyzdžiui, x buvo pažymėtas ya ir y - ka (nuo kalaka, juoda).
Tęsinys ketvirtame puslapyje.
Šis dokumentas yra straipsnis apie Algebrą iš 1911 m. Enciklopedijos leidimo, kuris čia nėra saugomas autorių teisių JAV straipsnis yra viešas domenas, ir jūs galite nukopijuoti, atsisiųsti, atsispausdinti ir išplatinti šį darbą, kaip matote tinka.
Buvo dedamos visos pastangos, kad šis tekstas būtų pateiktas tiksliai ir švariai, tačiau nėra garantijų dėl klaidų. Nei Melissa Snell, nei About negali būti laikomi atsakingi už bet kokias problemas, iškilusias dėl šio dokumento teksto ar bet kurios elektroninės formos.
Žymus Diophantus idėjų patobulinimas yra tas, kad induistai pripažino dviejų šaknų egzistavimą kvadratinės lygties, tačiau neigiamos šaknys buvo laikomos nepakankamomis, nes joms nepavyko rasti jokio aiškinimo. Taip pat manoma, kad jie numatė aukštesnių lygčių sprendimų atradimus. Didelė pažanga padaryta tiriant neapibrėžtas lygtis - analizės šaką, kurioje Diophantus išsiskyrė. Nors „Diophantus“ siekė vieno sprendimo, induistai siekė bendro metodo, kuriuo būtų galima išspręsti bet kokią neapibrėžtą problemą. Tuo jie buvo visiškai sėkmingi, nes gavo bendruosius lygčių ax (+ arba -) lygmenis = c, xy = ax + pagal + c (kadangi juos atrado Leonhardas Euleris) ir cy2 = ax2 + b. Ypatingas paskutinės lygties atvejis, būtent y2 = ax2 + 1, smarkiai apmokestino šiuolaikinių algebristų išteklius. Jį pasiūlė Pierre de Fermat Bernhard Frenicle de Bessy, o 1657 m. - visiems matematikams. Johnas Wallisas ir lordas Brounkeris kartu gavo nuobodų sprendimą, kuris buvo paskelbtas 1658 m., O po to 1668 m. Johnas Pellas savo algebroje. Sprendimą Fermat taip pat pateikė savo knygoje „Santykiai“. Nors Pellas neturėjo nieko bendra su sprendimu, palikuonys buvo pavadinti lygtimi Pellio lygtis arba Problema, kai teisingiau tai turėtų būti induizmo problema, pripažįstant matematikos pasiekimus Brahmanai.
Hermannas Hankelis pabrėžė, kad induistai yra pasirengę pereiti nuo skaičiaus iki didumo ir atvirkščiai. Nors šis perėjimas iš nenutrūkstamo į tęstinį nėra iš tikrųjų mokslinis, vis dėlto jis iš esmės padidino algebros raidą, ir Hankelis patvirtina, kad jei mes apibūdiname algebrą kaip aritmetinių operacijų taikymą tiek racionaliems, tiek irracionaliems skaičiams ar dydžiams, tada brahmanai yra tikrieji išradėjai algebra.
Išsisklaidžiusių Arabijos genčių integracija 7-ajame amžiuje dėl maištingos religijos Mahometo propagandą lydėjo meteorinis iki šiol intelektualinių galių augimas neaiškios varžybos. Arabai tapo Indijos ir Graikijos mokslo saugotojais, o Europa buvo nuomojama dėl vidinių nesutarimų. Valdant abasidams, Bagdadas tapo mokslinės minties centru; į jų teismą plūsta gydytojai ir astronomai iš Indijos ir Sirijos; Buvo išversti graikų ir indų rankraščiai (kalifo Mamuno (813–833) pradėtas ir jo įpėdinių toliau tęsiamas darbas); ir maždaug per šimtmetį arabai turėjo didelę graikų ir indų kalbų mokymosi parduotuvę. Euklido elementai pirmiausia buvo išversti valdant Harun-al-Rashid (786–809) ir persvarstyti Mamuno įsakymu. Tačiau šie vertimai buvo laikomi netobulais, ir Tobit ben Korra (836–901) liko pateikti patenkinamą leidimą. Ptolemėjas Almagestas, taip pat buvo išversti Apollonijaus, Archimedo, Diophantus darbai ir Brahmasiddhantos dalys. Pirmasis žymus arabų matematikas buvo Mahommedas ben Musa al-Khwarizmi, kuris suklestėjo Mamuno laikais. Jo traktate apie algebrą ir aritmetiką (kurios paskutinė dalis išlieka tik lotyniškojo vertimo pavidalu, atrastas 1857 m.) Nėra nieko, kas graikams ir induistams buvo nežinomas; jame pateikiami abiejų rasių metodai, vyrauja graikų kalba. Dalis, skirta algebrai, turi pavadinimą al-jeur wa'lmuqabala, o aritmetika prasideda žodžiu „Kalbėjo Algoritmi“, vardą Khwarizmi arba Hovarezmi perėjus į žodį Algoritmi, kuris buvo toliau pertvarkytas į modernesnį žodžių algoritmą ir algoritmą, reiškiantį metodą skaičiavimas.
Tęsinys penktajame puslapyje.
Šis dokumentas yra straipsnis apie Algebrą iš 1911 m. Enciklopedijos leidimo, kuris čia nėra saugomas autorių teisių JAV straipsnis yra viešas domenas, ir jūs galite nukopijuoti, atsisiųsti, atsispausdinti ir išplatinti šį darbą, kaip matote tinka.
Buvo dedamos visos pastangos, kad šis tekstas būtų pateiktas tiksliai ir švariai, tačiau nėra garantijų dėl klaidų. Nei Melissa Snell, nei About negali būti laikomi atsakingi už bet kokias problemas, iškilusias dėl šio dokumento teksto ar bet kurios elektroninės formos.
Tobitas ben Korra (836–901), gimęs Harrane, Mesopotamijoje, žymus kalbininkas, matematikas ir astronomas, pastebimai tarnavo atlikdamas įvairių graikų autorių vertimus. Svarbus yra jo taikomų skaičių (q.v.) savybių ir kampo išnaikinimo problemos tyrimas. Pasirinkdami studijas arabai labiau priminė induistus nei graikai; jų filosofai sumaišė spekuliacines disertacijas su progresyvesniu medicinos tyrimu; jų matematikai nepaisė kūginių pjūvių subtilybių ir Diophantine analizės ir patys taikėsi tobulindami skaitmenys (žr. Skaičių skaičių), aritmetika ir astronomija (q.v ..) Taigi taip susiklostė, kad nors tam tikra pažanga buvo padaryta algebroje, rasės talentai buvo apdovanoti astronomija ir trigonometrija (q.v ..) Fahri des al Karbi, suklestėjęs maždaug XI amžiaus pradžioje, yra svarbiausio arabų darbo apie algebra. Jis vadovaujasi Diophantus metodais; jo darbas su neapibrėžtomis lygtimis nėra panašus į indų metodus ir jame nėra nieko, ko negalima surinkti iš Diophantus. Jis išsprendė kvadratines lygtis tiek geometriniu, tiek algebriniu požiūriu, taip pat lygtis, kurių forma yra x2n + axn + b = 0; jis taip pat įrodė tam tikrus ryšius tarp pirmųjų n natūraliųjų skaičių sumos ir jų kvadratų bei kubų sumų.
Kubinės lygtys buvo išspręstos geometriškai, nustatant kūginių pjūvių sankirtas. Archimedo problema padalinti rutulį plokštuma į du segmentus, turinčius nustatytą santykį, buvo pirmiausia išreikšta Al Mahani kubine lygtimi, o pirmąjį sprendimą pateikė Abu Gafar al Hazinas. Taisyklingo šešiakampio, kurį galima įterpti arba apriboti, šono nustatymas duotas ratas buvo sumažintas iki sudėtingesnės lygties, kurią pirmiausia sėkmingai išsprendė Abulas Gudis. Lygčių geometrinis sprendimo būdas buvo labai išplėtotas Omaro Khayyamo iš Khorassano, kuris suklestėjo XI amžiuje. Šis autorius suabejojo galimybe kubinius sprendimus išspręsti gryna algebra, o biquadratics - pagal geometriją. Pirmasis jo teiginys nebuvo paneigtas iki XV a., Bet antrąjį jo atsisakė Abul Weta (940–908), kuriam pavyko išspręsti formas x4 = a ir x4 + ax3 = b.
Nors kubinių lygčių geometrinės skiriamosios galios pagrindus reikia priskirti graikams (Eutocijus priskiria Menaechmus du lygčių x3 = a ir x3 = 2a3 išsprendimo metodai), tačiau arabai vėlesnį vystymąsi turi laikyti vienu iš svarbiausių pasiekimai. Graikams pavyko išspręsti pavienį pavyzdį; arabai įvykdė bendrą skaitinių lygčių sprendimą.
Didelis dėmesys buvo nukreiptas į skirtingus stilius, kuriais arabų autoriai traktavo savo temą. Moritzo kantorius pasiūlė, kad vienu metu egzistavo dvi mokyklos: viena užuojautos graikams, kita - induistams; ir kad nors pastarųjų raštai buvo išnagrinėti pirmiausia, jie buvo greitai išmesti, siekiant įžvalgesnių graikų metodų, taigi kad tarp vėlesnių arabų rašytojų indų metodai buvo praktiškai pamiršti ir jų matematika iš esmės tapo graikų kalba charakteris.
Kreipdamiesi į arabus Vakaruose, mes pastebime tą pačią nušvitusią dvasią; Ispanijos maurų imperijos sostinė Kordova buvo tiek pat mokymosi centras, kiek Bagdadas. Anksčiausias žinomas ispanų matematikas yra Al Madshritti (d. 1007), kurio šlovė priklauso disertacijai apie draugiškus skaičius ir mokykloms, kurias įsteigė jo mokiniai Kordojoje, Damoje ir Granadoje. Gavilis Ben Allah iš Sevilijos, paprastai vadinamas Geberiu, buvo garsus astronomas ir, matyt, patyręs algebrą, nes buvo manoma, kad žodis „algebra“ susideda iš jo vardo.
Kai maurų imperija pradėjo nykti nuostabios intelektualinės dovanos, kurias jie taip gausiai maitino per tris ar keturis šimtmečiai tapo nebenaudojami ir po to laikotarpio nepavyko sukurti autoriaus, palyginamo su 7–11 autoriais amžiais.
Tęsinys šeštame puslapyje.
Šis dokumentas yra straipsnis apie Algebrą iš 1911 m. Enciklopedijos leidimo, kuris čia nėra saugomas autorių teisių JAV straipsnis yra viešas domenas, ir jūs galite nukopijuoti, atsisiųsti, atsispausdinti ir išplatinti šį darbą, kaip matote tinka.
Buvo dedamos visos pastangos, kad šis tekstas būtų pateiktas tiksliai ir švariai, tačiau nėra garantijų dėl klaidų. Nei Melissa Snell, nei About negali būti laikomi atsakingi už bet kokias problemas, iškilusias dėl šio dokumento teksto ar bet kurios elektroninės formos.