Kas yra Cauchy pasiskirstymas

Vienas atsitiktinio kintamojo paskirstymas yra svarbus ne jo taikymui, o tam, ką jis pasako apie mūsų apibrėžimus. Cauchy pasiskirstymas yra vienas iš tokių pavyzdžių, kartais vadinamas patologiniu pavyzdžiu. Priežastis ta, kad nors šis pasiskirstymas yra tiksliai apibrėžtas ir susijęs su fiziniu reiškiniu, pasiskirstymas neturi vidurkio ar dispersijos. Iš tikrųjų šis atsitiktinis kintamasis neturi momentą generuojanti funkcija.

„Cauchy“ paskirstymą mes apibrėžiame atsižvelgdami į suktuką, pavyzdžiui, stalo žaidimo tipą. Šio suktuko centras bus tvirtinamas ant y ašis taške (0, 1). Sukdami verptuvą, verptuvo linijinį segmentą pratęsime, kol jis kerta x ašį. Tai bus apibrėžta kaip mūsų atsitiktinis kintamasis X.

Mes pažymime w mažesnįjį iš dviejų kampų, kuriuos suktukas daro su y ašis. Manome, kad šis suktukas gali sudaryti bet kokį kampą kaip ir kitas, taigi W pasiskirsto tolygiai nuo -π / 2 iki π / 2.

Pagrindinė trigonometrija suteikia mums ryšį tarp dviejų atsitiktinių kintamųjų:

X = įdegisW.

KumuliacinėXišvedama taip:

H(x) = P(X < x) = P(įdegisW < x) = P(W < arktanasX)

Tada pasinaudojame tuo, kadW yra vienoda, ir tai suteikia mums:

H(x) = 0.5 + (arktanasx)/π

Norėdami gauti tikimybės tankio funkciją, mes diferencijuojame kaupiamojo tankio funkciją. Rezultatas yra h(x) = 1/[π (1 + x²) ]

Cauchy pasiskirstymas įdomus tuo, kad nors mes jį apibrėžėme naudodami fizinę a sistemą atsitiktinis suktukas, atsitiktinis kintamasis su Cauchy pasiskirstymu neturi reikšmės, dispersijos ar momento funkcija. Visi iš akimirkos apie kilmę, kuri naudojama apibrėžti šiuos parametrus, neegzistuoja.

Pirmiausia atsižvelgiame į vidurkį. Vidurkis apibrėžiamas kaip laukiama mūsų atsitiktinio kintamojo vertė, taigi E [X] = ∫_-∞^∞x /[π (1 + x²)] dx.

Mes integruojamės naudodamiesi pakaitalas. Jei mes nustatysime u = 1 +x² tada mes matome, kad du = 2x dx. Po pakeitimo gautas netinkamas integralas nesusilieja. Tai reiškia, kad tikėtina vertė neegzistuoja, o vidurkis nėra apibrėžtas.

Panašiai neapibrėžta dispersija ir momentą sukurianti funkcija.

Cauchy paskirstymas pavadintas prancūzų matematiku Augustinu-Louisu Cauchy (1789 - 1857). Nepaisant to, kad šis platinimas buvo pavadintas Cauchy, informaciją apie platinimą pirmiausia paskelbė nuodai.