Matematinės bangų savybės

Fizinės bangos arba mechaninės bangos, susidaro per terpės vibracijas, ar tai būtų styga, žemės pluta, ar dujų ir skysčių dalelės. Bangos turi matematines savybes, kurias galima analizuoti, norint suprasti bangos judesį. Šiame straipsnyje pristatomos šios bendrosios bangos savybės, o ne kaip jas pritaikyti konkrečiose fizikos situacijose.

Yra dviejų tipų mechaninės bangos.

A yra tokia, kad terpės poslinkiai yra statmeni (skersiniai) bangos judėjimo palei terpę krypčiai. Vibracija virve periodiškai judant, todėl bangos juda išilgai jos, yra skersinė banga, kaip ir bangos vandenyne.

A išilginė banga yra toks, kad terpės poslinkiai eina pirmyn ir atgal ta pačia kryptimi kaip ir pati banga. Garso bangos, kai oro dalelės stumiamos išilgai važiavimo krypties, yra išilginės bangos pavyzdys.

Nors šiame straipsnyje aptariamos bangos bus susijusios su judėjimu terpėje, čia aprašyta matematika gali būti naudojama nemechaninių bangų savybėms analizuoti. Pavyzdžiui, elektromagnetinė spinduliuotė gali judėti per tuščią erdvę, bet vis tiek turi tas pačias matematines savybes kaip ir kitos bangos. Pavyzdžiui,

1. Bangos gali būti vertinamos kaip pusiausvyros būsenos, kuri paprastai būna ramybėje, sutrikimas. Šio sutrikimo energija sukelia bangos judesį. Vandens telkinys yra pusiausvyroje, kai nėra bangų, tačiau kai tik metamas į jį akmuo, sutrinka dalelių pusiausvyra ir prasideda bangos judėjimas.
2. Bangos trikdis keliauja, arba propaguotojai, tam tikru greičiu, vadinamas bangos greitis (v).
3. Bangos perduoda energiją, bet nesvarbią. Pati terpė nekeliauja; atskiros dalelės juda pirmyn ir atgal arba aukštyn ir žemyn aplink pusiausvyros padėtį.

Norėdami matematiškai apibūdinti bangos judesį, remiamės a sąvoka bangos funkcija, kuris apibūdina dalelės padėtį terpėje bet kuriuo metu. Pagrindinės bangos funkcijos yra sinusinė arba sinusinė banga, kuri yra a periodinė banga (t. y. banga su pasikartojančiu judesiu).

Svarbu pažymėti, kad bangos funkcija nevaizduoja fizinės bangos, o greičiau yra poslinkio apie pusiausvyros padėtį grafikas. Tai gali būti paini sąvoka, tačiau naudinga yra tai, kad sinusoidinę bangą galime pavaizduoti periodiškiausiai. judesiai, tokie kaip judėjimas ratu arba švytuoklės sukimas, kurie nebūtinai atrodo banguoti, kai žiūrite tikrąjį judesys.

• bangos greitis (v) - bangos plitimo greitis
• amplitudė (A) - didžiausias poslinkio nuo pusiausvyros dydis, SI vienetų metrais. Paprastai tai yra atstumas nuo pusiausvyros bangos vidurio taško iki didžiausio jo poslinkio, arba jis yra pusė viso bangos poslinkio.
• laikotarpis (T) - vieno bangos ciklo (dviejų impulsų arba nuo apvalkalo iki apvalkalo arba nuo žemiausio iki mažiausiojo) laikas, išreikštas SI sekundžių vienetais (nors tai gali būti vadinama „sekundėmis per ciklą“).
• dažnis (f) - ciklų skaičius per laiko vienetą. SI dažnio vienetas yra hercas (Hz) ir

  1 Hz = 1 ciklas / s = 1 s^-1

• kampinis dažnis (ω) - yra 2π kartų padaugintas iš radianų SI vienetais per sekundę.
• bangos ilgio (λ) - atstumas tarp bet kurių dviejų taškų, esančių atitinkamose pozicijose, kai banga kartojasi iš eilės, taigi (pavyzdžiui) iš vienos kriauklės ar lovio į kitą SI vienetai metrų.
• bangos skaičius (k), taip pat vadinama sklidimo konstanta, šis naudingas kiekis apibūdinamas kaip 2 π padalintas iš bangos ilgio, taigi SI vienetai yra radiarai viename metre.
• pulsas - pusinės bangos ilgio, iš pusiausvyros atgal

Kai kurios naudingos lygtys, apibrėžiančios aukščiau nurodytus dydžius:

v = λ / T = λ f

ω = 2 π f = 2 π/T

T = 1 / f = 2 π/ω

k = 2π/ω

ω = vk

Vertikali taško padėtis bangoje, y, galima rasti kaip horizontalios padėties funkciją, x, ir laikas, t, kai pažvelgsime į tai. Dėkojame maloniems matematikams už tai, kad atlikote šį darbą už mus, ir gauname šias naudingas lygtis, apibūdinančias bangos judesį:

y(x, t) = A nuodėmė ω(t - x/v) = A 2 nuodėmėπ f(t - x/v)

y(x, t) = A 2 nuodėmėπ(t/T - x/v)

y (x, t) = A nuodėmė (ω t - kx)

Paskutinis bangos funkcijos bruožas yra tas, kad taikoma skaičiavimas paimti antrąjį darinį, gaunamas bangos lygtis, kuris yra intriguojantis ir kartais naudingas produktas (kurį dar kartą dėkosime matematikams už ir priimsime jų neįrodę):

d²y / dx² = (1 / v²) d²y / dt²

Antrasis darinys y su pagarba x yra lygus antrajam dariniui y su pagarba t padalinta iš bangos greičio kvadratu. Pagrindinis šios lygties naudingumas yra tas kai tik atsiranda, mes žinome, kad funkcija y veikia kaip banga su bangos greičiu v ir todėl, situaciją galima apibūdinti naudojant bangos funkciją.