mėginio standartinis nuokrypis yra aprašomoji statistika, matuojanti kiekybinių duomenų rinkinio sklaidą. Šis skaičius gali būti bet koks neigiamas realusis skaičius. Kadangi nulis yra neigiamas tikras numeris, verta paklausti: „Kada imties standartinis nuokrypis bus lygus nuliui?“ Tai atsitinka labai ypatingu ir labai neįprastu atveju, kai visos mūsų duomenų vertės yra visiškai vienodos. Mes ištirsime priežastis, kodėl.
Standartinio nuokrypio aprašymas
Du svarbūs klausimai, į kuriuos paprastai norime atsakyti apie duomenų rinkinį:
- Koks yra duomenų rinkinio centras?
- Kaip paskirstomas duomenų rinkinys?
Į šiuos klausimus yra skirtingų matavimų, vadinamų aprašomąja statistika. Pavyzdžiui, duomenų centras, dar žinomas kaip vidutinis, gali būti apibūdinamas kaip vidurkis, mediana arba būdas. Gali būti naudojama ir kita mažiau žinoma statistika viduryje ar trimeanas.
Savo duomenims skleisti galėtume naudoti diapazoną, tarpkvartalinis diapazonas arba standartinis nuokrypis. Standartinis nuokrypis yra suporuotas su vidurkiu, kad būtų galima kiekybiškai įvertinti mūsų duomenų pasklidimą. Tada galime naudoti šį skaičių palyginti kelis duomenų rinkinius. Kuo didesnis mūsų standartinis nuokrypis, tuo didesnis skirtumas.
Intuicija
Taigi apsvarstykime iš šio aprašymo, ką reikštų standartinis nulinis nuokrypis. Tai reikštų, kad mūsų duomenų rinkinyje nėra jokio išplitimo. Visos atskiros duomenų vertės būtų sujungtos į vieną vertę. Kadangi būtų tik viena reikšmė, kurią galėtų turėti mūsų duomenys, ši vertė būtų mūsų imties vidurkis.
Esant tokiai situacijai, kai visos mūsų duomenų vertės yra vienodos, jokių pokyčių nebus. Intuityviai vertinga, kad standartinis tokio duomenų rinkinio nuokrypis būtų lygus nuliui.
Matematinis įrodymas
Imties standartinis nuokrypis apibrėžiamas formule. Taigi bet kuris teiginys, toks, kaip antai aukščiau, turėtų būti įrodytas naudojant šią formulę. Mes pradedame nuo duomenų rinkinio, kuris atitinka aukščiau pateiktą aprašymą: visos vertės yra tapačios ir yra n vertės lygios x.
Mes apskaičiuojame šio duomenų rinkinio vidurkį ir matome, kad jis yra
x = (x + x +... + x)/n = nx/n = x.
Kai apskaičiuojame atskirus nuokrypius nuo vidurkio, matome, kad visi šie nuokrypiai yra nulis. Taigi ir dispersija, ir standartinis nuokrypis yra lygios nuliui.
Būtinas ir pakankamas
Matome, kad jei duomenų rinkinyje nėra variacijų, tada jo standartinis nuokrypis yra lygus nuliui. Mes galime paklausti, ar atvirkščiai šio teiginio taip pat teisinga. Norėdami sužinoti, ar taip yra, dar kartą naudosime standartinio nuokrypio formulę. Tačiau šį kartą standartinį nuokrypį nustatysime lygų nuliui. Mes nedarysime jokių prielaidų apie savo duomenų rinkinį, bet pamatysime, koks jų nustatymas s = 0 reiškia
Tarkime, kad standartinis duomenų rinkinio nuokrypis yra lygus nuliui. Tai reikštų, kad imties dispersija s2 taip pat lygus nuliui. Rezultatas yra lygtis:
0 = (1/(n - 1)) ∑ (xi - x )2
Padauginame abi lygties puses iš n - 1 ir pamatysite, kad kvadratinių nuokrypių suma yra lygi nuliui. Kadangi mes dirbame su tikraisiais skaičiais, vienintelis būdas tai įvykti yra tai, kad kiekvienas kvadrato nuokrypis būtų lygus nuliui. Tai reiškia, kad kiekvienam i, terminas (xi - x )2 = 0.
Dabar paimame aukščiau pateiktos lygties kvadratinę šaknį ir matome, kad kiekvienas nuokrypis nuo vidurkio turi būti lygus nuliui. Kadangi visiems i,
xi - x = 0
Tai reiškia, kad kiekviena duomenų vertė yra lygi vidurkiui. Šis rezultatas kartu su aukščiau pateiktu leidžia mums pasakyti, kad imties standartinis duomenų rinkinio nuokrypis yra lygus nuliui, jei ir tik tada, jei visos jo vertės yra tapačios.