Kas yra skaičius? Na, tai priklauso. Yra daugybė įvairių skaičių, kiekvienas iš jų turi savo ypatybes. Vienos rūšies numeris, ant kurio statistika, tikimybė ir dauguma matematikos yra pagrįsta, vadinama realiuoju skaičiumi.
Norėdami sužinoti, koks yra tikrasis skaičius, pirmiausia apžvelgsime kitokius skaičius.
Skaičių tipai
Pirmiausia mes sužinome apie skaičius, kad galėtume suskaičiuoti. Pradėjome nuo to, kad pirštais suderintume skaičius 1, 2 ir 3. Tada mes ėjome kuo aukščiau, kas greičiausiai nebuvo toks aukštas. Šie skaičiavimo arba natūralieji skaičiai buvo vieninteliai skaičiai, kuriuos mes žinojome.
Vėliau, dirbant su atimtimi, neigiamas buvo įvesti sveiki skaičiai. Teigiamų ir neigiamų sveikųjų skaičių aibė vadinama sveikųjų skaičių aibėmis. Netrukus po to buvo apsvarstyti racionalūs skaičiai, dar vadinami trupmenomis. Kadangi kiekvienas sveikasis skaičius gali būti parašytas trupmena su vardikliu 1, mes sakome, kad sveikieji skaičiai sudaro racionaliųjų skaičių pogrupį.
senovės graikai
suprato, kad ne visus skaičius galima suformuoti kaip trupmeną. Pavyzdžiui, 2 kvadratinės šaknies negalima išreikšti trupmena. Šios rūšies numeriai vadinami neracionaliais skaičiais. Neracionalių skaičių yra gausu, ir tam tikra prasme šiek tiek stebina, kad yra neracionalesnių skaičių nei racionaliųjų skaičių. Į kitus neracionalius skaičius įeina pi ir e.Dešimtainiai išsiplėtimai
Kiekvienas tikrasis skaičius gali būti parašytas dešimtosios tikslumu. Skirtingos realiųjų skaičių rūšys turi skirtingas dešimtainio didinimo rūšis. Dešimtainis racionalaus skaičiaus išplėtimas baigiasi, pvz., 2, 3.25 arba 1.2342, arba kartojasi, pavyzdžiui, .33333.. Arba .123123123.. . Priešingai, neracionaliojo skaičiaus dešimtainė plėtra yra neterminuota ir nesikartojanti. Tai galime pastebėti dešimtainėje pi išplėtimo vietoje. Pi yra nesibaigianti skaitmenų eilutė, be to, nėra skaitmenų eilutės, kuri neribotam laikui kartotųsi.
Realiųjų skaičių vizualizacija
Realiuosius skaičius galima vizualizuoti susiejant kiekvieną iš jų ties vienu ties begaliniu taškų skaičiumi. Realieji skaičiai turi eiliškumą, tai reiškia, kad bet kuriam dviem skirtingam realiajam skaičiui galime pasakyti, kad vienas yra didesnis už kitą. Pagal susitarimą, judėjimas į kairę išilgai realiųjų skaičių eilutės atitinka mažesnius ir mažesnius skaičius. Judėjimas į dešinę palei realaus skaičiaus liniją atitinka vis didesnius skaičius.
Pagrindinės realiųjų skaičių savybės
Realieji skaičiai elgiasi kaip kiti skaičiai, su kuriais esame įpratę elgtis. Galime juos sudėti, atimti, padauginti ir padalyti (tol, kol mes neskirstome į nulį). Sudėjimo ir daugybos tvarka nesvarbi, nes yra komutacinė savybė. Paskirstomoji savybė parodo, kaip daugyba ir sudėjimas sąveikauja tarpusavyje.
Kaip minėta anksčiau, tikrieji skaičiai yra eilės tvarka. Atsižvelgiant į bet kuriuos du tikruosius skaičius x ir y, mes žinome, kad tiesa yra viena ir tik viena iš šių aplinkybių:
x = y, x < y arba x > y.
Kita savybė - išsamumas
Nuosavybė, išskirianti realiuosius skaičius nuo kitų skaičių aibių, kaip ir racionalieji, yra savybė, vadinama išsamumu. Tai išsamumas, kurį galima paaiškinti šiek tiek techniškai, tačiau suprantama, kad racionaliųjų skaičių rinkinyje yra spragų. Realiųjų skaičių rinkinyje nėra spragų, nes jis yra baigtas.
Kaip iliustraciją pažvelgsime į racionaliųjų skaičių 3, 3.1, 3.14, 3.141, 3.1415, sekas... Kiekvienas šios sekos terminas yra apytikslis su pi, gaunamas sutrumpinant dešimtainę plėtrą pi. Šios sekos sąlygos priartėja ir arčiau pi. Tačiau, kaip minėjome, pi nėra racionalus skaičius. Norėdami įkišti skaičių eilutės skyles, kurios atsiranda tik atsižvelgiant į racionaliuosius skaičius, turime naudoti neracionalius skaičius.
Kiek realių skaičių?
Neturėtų stebėtis, kad yra begalinis skaičius realiųjų skaičių. Tai galima pastebėti gana lengvai, kai manome, kad sveikieji skaičiai sudaro realiųjų skaičių pogrupį. Tai taip pat galėjome pamatyti supratę, kad skaičių eilutėje yra begalinis taškų skaičius.
Stebina tai, kad begalė, naudojama skaičiuoti tikruosius skaičius, yra kitokios rūšies nei begalybė, naudojama skaičiuoti sveikus skaičius. Sveiku skaičiumi, sveikaisiais skaičiais ir racionaliaisiais yra be galo daug. Realiųjų skaičių aibė yra nesuskaičiuojamai begalinė.
Kodėl verta juos vadinti tikrais?
Realieji skaičiai gauna savo pavadinimą, kad galėtų juos atskirti nuo dar didesnio skaičiaus sampratos apibendrinimo. Įsivaizduojamas skaičius i yra apibrėžiamas kaip neigiamos šaknies šaknis. Bet kuris realusis skaičius padaugintas iš i taip pat žinomas kaip įsivaizduojamas skaičius. Įsivaizduojami skaičiai neabejotinai ištiesia mūsų skaičiaus sampratą, nes jie visai nėra tai, apie ką mes galvojome, kai pirmą kartą išmokome skaičiuoti.