Skaičiavimai naudojant gama funkciją

gama funkcija yra apibūdinamas pagal šią sudėtingai atrodančią formulę:

Γ ( z ) = ∫₀^∞e ^{- t}t^z-1dt

Vienas klausimas, iškilęs žmonėms, pirmą kartą susidūrus su šia painiavos lygtimi, yra toks: „Kaip jūs naudojate šią formulę apskaičiuodami gama funkcija? “ Tai yra svarbus klausimas, nes sunku žinoti, ką net reiškia ši funkcija ir kokie yra visi simboliai dėl.

Vienas iš būdų atsakyti į šį klausimą yra keli pavyzdžių skaičiavimai naudojant gama funkciją. Prieš tai atlikdami, turime žinoti kelis dalykus iš skaičiavimo, kuriuos turime žinoti, pavyzdžiui, kaip integruoti netinkamą I tipo integralą ir kad e yra matematinė konstanta.

Prieš atlikdami bet kokius skaičiavimus, išnagrinėsime šių skaičiavimų motyvus. Daugybę kartų gama funkcijos rodomos užkulisiuose. Pateikiamos kelios tikimybės tankio funkcijos pagal gama funkciją. Jų pavyzdžiai yra gama pasiskirstymas ir studentų t paskirstymas. Negalima pervertinti gama funkcijos svarbos.

Pirmasis skaičiavimo pavyzdys, kurį mes ištirsime, yra gama funkcijos reikšmės radimas Γ (1). Tai randama nustatant

∫₀^∞e ^{- t}dt

Aukščiau pateiktą integralą apskaičiuojame dviem etapais:

• Neapibrėžtasis integralas ∫e ^{- t}dt= -e ^{- t} + C
• Tai netinkamas integralas, todėl mes turime ∫₀^∞e ^{- t}dt = lim_{b → ∞} -e ^{- b} + e ⁰ = 1

Kitas skaičiavimo pavyzdys, kurį mes apsvarstysime, yra panašus į paskutinį pavyzdį, tačiau mes padidiname z pagal 1. Dabar apskaičiuojame Γ (2) gama funkcijos vertę nustatydami z = 2 aukščiau pateiktoje formulėje. Veiksmai yra tokie patys kaip aukščiau:

Γ ( 2 ) = ∫₀^∞e ^{- t}t dt

Neapibrėžtasis integralas ∫te ^{- t}dt=- te ^{- t} -ė ^{- t} + C. Nors mes tik padidinome z 1, reikia daugiau darbo apskaičiuoti šį integralą. Norėdami rasti šį integralą, turime naudoti skaičiavimo techniką, žinomą kaip integracija dalimis. Kaip ir anksčiau, mes naudojame integracijos ribas ir turime apskaičiuoti:

lim_{b → ∞}- būti ^{- b} -ė ^{- b} -0e ⁰ + e ⁰.

Gautas skaičiavimas, žinomas kaip „L'Hospital“ taisyklė, leidžia mums apskaičiuoti ribinę ribą_{b → ∞}- būti ^{- b} = 0. Tai reiškia, kad aukščiau esančio mūsų integralo vertė yra 1.

Kitas gama funkcijos bruožas ir tas, kuris ją jungia faktorinis yra formulė Γ (z +1 ) =zΓ (z ) dėl z bet koks sudėtingas skaičius su teigiamu tikras dalis. Priežastis, kodėl taip yra, yra tiesioginis gama funkcijos formulės rezultatas. Naudodamiesi integracija dalimis, galime nustatyti šią gama funkcijos savybę.