Laukiamos vertės formulė

Vienas natūralus klausimas, kurį reikia užduoti apie tikimybės pasiskirstymą, yra: „Koks jo centras?“ Laukiama vertė yra vienas iš tokių tikimybės pasiskirstymo centro išmatavimų. Kadangi ji matuoja vidurkį, neturėtų stebinti, kad ši formulė yra gauta iš vidurkio.

Norėdami nustatyti atskaitos tašką, turime atsakyti į klausimą: „Kokia tikėtina vertė?“ Tarkime, kad mes turime atsitiktinį kintamąjį, susietą su tikimybės eksperimentu. Tarkime, kad mes kartojame šį eksperimentą vėl ir vėl. Per ilgą to paties tikimybės eksperimento kelis kartojimus, jei mes įvertintume visų savo reikšmių vidurkį atsitiktinis kintamasis, gautume numatytą vertę.

Toliau pamatysime, kaip naudoti formulę numatomai vertei. Pažiūrėsime tiek į diskrečius, tiek į nenutrūkstamus parametrus ir pamatysime formulių panašumus ir skirtumus.

Pirmiausia analizuojame diskretinį atvejį. Pateiktas diskretusis atsitiktinis kintamasis X, tarkime, kad ji turi vertybių x₁, x₂, x₃,... x_n, ir atitinkamos tikimybės

Laukiama vertė X pateikiamas pagal formulę:

E (X) = x₁p₁ + x₂p₂ + x₃p₃ +... + x_np_n.

Naudodami tikimybinės masės funkciją ir sumavimo žymėjimą, galime kompaktiškiau parašyti šią formulę taip, kai sumavimas perimamas per indeksą i:

E (X) = Σ x_if(x_i).

Šią formulės versiją yra naudinga pamatyti, nes ji taip pat veikia, kai turime begalinę erdvę pavyzdžių. Šią formulę taip pat galima lengvai pritaikyti nenutrūkstamam atvejui.

Tris kartus apverskite monetą ir leiskite X būti galvų skaičius. Atsitiktinis kintamasis X yra diskretus ir baigtinis. Vienintelės galimos vertės, kurias galime turėti, yra 0, 1, 2 ir 3. Tai tikimybės pasiskirstymas yra 1/8 X = 0, 3/8 už X = 1, 3/8 už X = 2, 1/8 už X = 3. Norėdami gauti: naudokite numatomos vertės formulę:

(1/8)0 + (3/8)1 + (3/8)2 + (1/8)3 = 12/8 = 1.5

Šiame pavyzdyje matome, kad ilgainiui šio eksperimento rezultatas bus vidutiniškai 1,5 galvos. Mūsų intuicija turi prasmę, nes pusė 3 yra 1,5.

Dabar mes kreipiamės į nuolatinį atsitiktinį kintamąjį, kurį žymėsime X. Leisime tikimybės tankio funkcijai X būti suteikta pagal funkciją f(x).

Laukiama vertė X pateikiamas pagal formulę:

E (X) = ∫ x f(x) dx.

Čia matome, kad laukiama mūsų atsitiktinio kintamojo vertė yra išreikšta kaip integralas.

Yra daug paraiškos numatomai vertei atsitiktinio kintamojo. Ši formulė atrodo įdomiai Sankt Peterburgo paradoksas.