Dviejų rinkinių, parašytų, skirtumas A - B yra visų elementų rinkinys A kurie nėra B. Skirtumų operacija, kartu su sąjunga ir sankryža, yra svarbi ir pagrindinio rinkinio teorijos operacija.
Skirtumo aprašymas
Vieno skaičiaus atėmimas iš kito gali būti apgalvotas įvairiais būdais. Vienas modelis, padedantis suprasti šią sąvoką, vadinamas „takeaway“ modeliu atėmimas. Tokiu atveju 5 - 2 = 3 problema bus parodyta pradedant nuo penkių objektų, pašalinant du iš jų ir suskaičiavus, kad jų liko trys. Panašiu būdu, kai nustatome skirtumą tarp dviejų skaičių, galime rasti dviejų aibių skirtumą.
Pavyzdys
Mes pažvelgsime į nustatyto skirtumo pavyzdį. Norėdami pamatyti, koks yra dviejų skirtumas rinkiniai sudaro naują rinkinį, panagrinėkime rinkinius A = {1, 2, 3, 4, 5} ir B = {3, 4, 5, 6, 7, 8}. Norėdami sužinoti skirtumą A - B iš šių dviejų rinkinių, pirmiausia mes užrašome visus Air tada atimkite kiekvieną elementą A tai taip pat yra B. Nuo A dalijasi elementais 3, 4 ir 5 su B, tai suteikia mums nustatytą skirtumą A - B = {1, 2}.
Užsakymas yra svarbus
Lygiai taip pat, kaip skirtumai 4 - 7 ir 7 - 4 pateikia skirtingus atsakymus, turime būti atsargūs, kokia tvarka apskaičiuoti nustatytą skirtumą. Norėdami naudoti techninį matematikos terminą, mes pasakytume, kad nustatyta skirtumo operacija nėra komutacinė. Tai reiškia, kad apskritai negalime pakeisti dviejų aibių skirtumų ir tikėtis to paties rezultato. Tai galime tiksliau pasakyti visiems rinkiniams A ir B, A - B nėra lygus B - A.
Norėdami tai pamatyti, grįžkite į aukščiau pateiktą pavyzdį. Mes apskaičiavome tai rinkiniams A = {1, 2, 3, 4, 5} ir B = {3, 4, 5, 6, 7, 8}, skirtumas A - B = {1, 2 }. Norėdami tai palyginti su B - A, mes pradedame nuo B, kurie yra 3, 4, 5, 6, 7, 8, tada pašalinkite 3, 4 ir 5, nes tai yra bendro su A. Rezultatas yra B - A = {6, 7, 8 }. Šis pavyzdys mums tai aiškiai parodo A - B nėra lygus B - A.
Komplementas
Vieno tipo skirtumas yra pakankamai svarbus, kad būtų galima pagrįsti savo ypatingą pavadinimą ir simbolį. Tai vadinama komplementu ir naudojama nustatytam skirtumui, kai pirmasis rinkinys yra universalus rinkinys. Papildymas A suteikia išraiška U - A. Tai reiškia visų universaliojo rinkinio elementų, kurie nėra elementai, rinkinį A. Kadangi suprantama, kad elementų rinkinys kad mes galime pasirinkti yra paimti iš universalaus rinkinio, mes galime tiesiog pasakyti, kad papildymas A yra rinkinys, kurį sudaro elementai, kurie nėra A.
Rinkinio papildymas yra palyginti su universaliu rinkiniu, su kuriuo mes dirbame. Su A = {1, 2, 3} ir U = {1, 2, 3, 4, 5}, komplemento A yra {4, 5}. Tarkime, jei mūsų universalus rinkinys skiriasi U = {-3, -2, 0, 1, 2, 3}, tada jo komplementas A {-3, -2, -1, 0}. Visada būtinai atkreipkite dėmesį į tai, koks universalus rinkinys yra naudojamas.
Pažymėjimas papildymui
Žodis „papildyti“ prasideda raide C, todėl tai naudojama žymėjime. Rinkinio papildymas A yra parašyta kaip AC. Taigi papildymo apibrėžimą simboliais galime išreikšti taip: AC = U - A.
Kitas būdas, kuris paprastai naudojamas aibės komplektui žymėti, yra apostrofas ir rašomas kaip A'.
Kitos tapatybės, susijusios su skirtumu, ir papildymai
Yra daugybė nustatytų tapatybių, susijusių su skirtumų ir papildymo operacijų naudojimu. Kai kurios tapatybės derina kitas nustatytas operacijas, tokias kaip sankryža ir sąjunga. Keletas svarbesnių yra išdėstyti žemiau. Visiems rinkiniams Air B ir D mes turime:
- A - A =∅
- A - ∅ = A
- ∅ - A = ∅
- A - U = ∅
- (AC)C = A
- „DeMorgan“ įstatymas I: (A ∩ B)C = AC ∪ BC
- „DeMorgan's Law II“: (A ∪ B)C = AC ∩ BC