Koks yra neigiamas binominis pasiskirstymas?

Neigiamas binominis skirstinys yra a tikimybės pasiskirstymas kuri naudojama su atskirais atsitiktiniais kintamaisiais. Šis paskirstymo būdas susijęs su bandymų, kurie turi būti atlikti iš anksto nustatytu sėkmių skaičiumi, skaičiumi. Kaip matysime, neigiamas binominis pasiskirstymas yra susijęs su dvinaris skirstinys. Be to, šis pasiskirstymas apibendrina geometrinį pasiskirstymą.

Pradėsime nuo nustatymo ir sąlygų, sukeliančių neigiamą binominį pasiskirstymą. Daugelis šių sąlygų yra labai panašios į binominę nuostatą.

1. Mes turime „Bernulio“ eksperimentą. Tai reiškia, kad kiekvienas mūsų atliekamas bandymas turi aiškiai apibrėžtą sėkmę ir nesėkmę ir kad tai yra vieninteliai rezultatai.
2. Nesvarbu, kiek kartų atliksime eksperimentą, sėkmės tikimybė yra pastovi. Šią nuolatinę tikimybę žymime a p.
3. Eksperimentas kartojamas X nepriklausomi tyrimai, reiškiantys, kad vieno tyrimo rezultatas neturi įtakos vėlesnio tyrimo rezultatams.

Šios trys sąlygos yra identiškos binominio paskirstymo sąlygoms. Skirtumas tas, kad dvinaris atsitiktinis kintamasis turi fiksuotą bandymų skaičių

Neigiamas binominis pasiskirstymas susijęs su bandymų skaičiumi X tai turi įvykti tol, kol turėsime r sėkmės. Skaičius r yra sveikas skaičius, kurį pasirenkame prieš pradėdami atlikti savo bandymus. Atsitiktinis kintamasis X vis dar yra diskretiškas. Tačiau dabar atsitiktinis kintamasis gali įgyti reikšmes X = r, r + 1, r + 2,... Šis atsitiktinis kintamasis yra neabejotinai begalinis, nes gali praeiti savavališkai daug laiko, kol gausime r sėkmės.

Norint suprasti neigiamą dvinarį pasiskirstymą, verta apsvarstyti pavyzdį. Tarkime, kad mes apversime teisingą monetą ir užduosime klausimą: „kokia tikimybė, kad pirmame gausime tris galvas X moneta apversta? “Tai yra situacija, kuri reikalauja neigiamo binominio paskirstymo.

Monetų atlenkimai turi dvi galimas baigtis, sėkmės tikimybė yra pastovi 1/2, o bandymai yra nepriklausomi vienas nuo kito. Mes prašome tikimybės gauti pirmąsias tris galvas po to X moneta atlenkiama. Taigi mes turime bent tris kartus apversti monetą. Tada mes nuolat pleiskanojame, kol pasirodys trečioji galva.

Norėdami apskaičiuoti tikimybes, susijusias su neigiamu binominiu pasiskirstymu, mums reikia šiek tiek daugiau informacijos. Mes turime žinoti tikimybės masės funkciją.

Neigiamo binominio pasiskirstymo tikimybės masės funkciją galima sukurti šiek tiek pagalvojus. Kiekvienas tyrimas turi sėkmės tikimybę p. Kadangi yra tik du galimi rezultatai, tai reiškia, kad nesėkmės tikimybė yra pastovi (1 - p ).

rth sėkmė turi įvykti xir paskutinis teismo procesas. Ankstesnis x - 1 bandymas turi būti tiksliai nurodytas r - 1 sėkmės. Kelių būdų, kaip tai gali įvykti, skaičių sudaro derinių skaičius:

C (x - 1, r -1) = (x - 1)! / [(R - 1)! (x - r)!].

Be to, mes turime nepriklausomų įvykių, todėl galime dauginti savo tikimybes kartu. Sudėjus visa tai, gauname tikimybės masės funkciją

f(x) = C (x - 1, r -1) p^r(1 - p)^{x - r}.

Dabar mes galime suprasti, kodėl šis atsitiktinis kintamasis turi neigiamą binominį pasiskirstymą. Aukščiau aptiktų derinių skaičių galima parašyti skirtingai x - r = k:

(x - 1)! / [(r - 1)! (x - r)!] = (x + k - 1)! / [(R - 1)! k!] = (r + k - 1)(x + k - 2)... (r + 1) (r) /k! = (-1)^k(-r) (- r - 1).. . (- r - (k + 1) / k !.

Čia matome neigiamo binominio koeficiento atsiradimą, kuris naudojamas padidinant binominę išraišką (a + b) iki neigiamos galios.

Pasiskirstymo vidurkį svarbu žinoti, nes tai yra vienas iš būdų paskirstymo centrui pažymėti. Šio tipo atsitiktinių kintamųjų vidurkis pateikiamas pagal numatomą jo vertę ir yra lygus r / p. Tai atsargiai galime įrodyti naudodami momentą generuojanti funkcija šiam paskirstymui.

Intuicija taip pat nukreipia mus į šią išraišką. Tarkime, kad mes atliekame bandymų seriją n₁ kol gausime r sėkmės. Ir tada mes darome tai dar kartą, tik šį kartą reikia n₂ bandymai. Tęsiame tai vėl ir vėl, kol turėsime daugybę bandymų grupių N = n₁ + n₂ +... +n_k.

Kiekvienas iš jų k bandymai yra r sėkmių, taigi turime iš viso kr sėkmės. Jei N yra didelis, tada mes tikimės pamatyti apie Np sėkmės. Taigi mes juos tapatiname ir turime kr = Np.

Padarome šiek tiek algebros ir tai randame N / k = r / p. Dalis kairėje šios lygties pusėje yra vidutinis bandymų, reikalingų kiekvienam iš mūsų, skaičius k bandymų grupės. Kitaip tariant, tai yra numatomas kartų skaičius atlikti eksperimentą, kad mūsų būtų iš viso r sėkmės. Būtent tokius lūkesčius ir norime rasti. Matome, kad tai lygu formulei r / p.

Neigiamo binominio pasiskirstymo dispersiją taip pat galima apskaičiuoti naudojant momentą sukuriančią funkciją. Kai tai darome, matome, kad šio paskirstymo dispersija yra apskaičiuojama pagal šią formulę:

r (1 - p)/p²

Šio tipo atsitiktinių kintamųjų momentų generavimo funkcija yra gana sudėtinga. Prisiminkite, kad momentą sukurianti funkcija yra apibrėžta kaip laukiama vertė E [e^tX]. Naudodami šį apibrėžimą su savo tikimybės masės funkcija, mes turime:

M (t) = E [e^tX] = Σ (x - 1)! / [(R - 1)! (x - r)!] e^tXp^r(1 - p)^{x - r}

Po tam tikros algebros tai tampa M (t) = (pe^t)^r[1- (1- p) e^t]^-r

Aukščiau matėme, kaip neigiamas binominis pasiskirstymas daugeliu atžvilgių panašus į binomialinį pasiskirstymą. Be šio ryšio, neigiamas binominis pasiskirstymas yra bendresnė geometrinio paskirstymo versija.

Geometrinis atsitiktinis kintamasis X suskaičiuoja būtinų bandymų skaičių iki pirmosios sėkmės. Nesunku pastebėti, kad tai yra būtent neigiamas binominis pasiskirstymas, tačiau su r lygus vienam.

Yra ir kitų neigiamo binominio pasiskirstymo formulių. Kai kurie vadovėliai apibrėžia X bandymų skaičius iki r įvyksta nesėkmės.

Mes pažvelgsime į pavyzdinę problemą, norėdami pamatyti, kaip dirbti su neigiamu binominiu paskirstymu. Tarkime, kad krepšininkas yra 80% laisvo metimo šaulys. Be to, tarkime, kad vieno laisvo metimo atlikimas nepriklauso nuo kito. Kokia tikimybė, kad šiam žaidėjui aštuntasis krepšelis bus padarytas dešimtuoju laisvu metimu?

Matome, kad turime neigiamo binominio paskirstymo parametrus. Pastovi sėkmės tikimybė yra 0,8, taigi nesėkmės tikimybė yra 0,2. Norime nustatyti X = 10 tikimybę, kai r = 8.

Mes įtraukiame šias vertes į savo tikimybės masės funkciją:

f (10) = C (10 -1, 8 - 1) (0,8)⁸(0.2)²= 36(0.8)⁸(0.2)², o tai yra maždaug 24 proc.

Tada galėtume paklausti, koks yra vidutiniškai išmestų laisvų metimų skaičius prieš tai, kai šis žaidėjas atlieka aštuonis iš jų. Kadangi laukiama vertė yra 8 / 0,8 = 10, tai yra kadrų skaičius.