Chi-kvadrato pasiskirstymo maksimalūs ir įlinkio taškai

Matematinė statistika naudoja metodus iš įvairių matematikos sričių, kad galutinai įrodytų, jog teiginiai apie statistiką yra teisingi. Pamatysime, kaip naudoti skaičiavimus, kad būtų galima nustatyti aukščiau nurodytas abiejų didžiausių chi-kvadrato pasiskirstymas, kuris atitinka jo režimą, taip pat raskite posūkio taškus paskirstymas.

Prieš tai darydami, aptarsime maksimumų ir posūkio taškų ypatybes. Taip pat išnagrinėsime metodą, kaip apskaičiuoti maksimalius posūkio taškus.

Diskretinio duomenų rinkinio režimas yra dažniausiai pasitaikanti vertė. Duomenų histogramoje tai žymima aukščiausia juosta. Sužinoję aukščiausią juostą, pažvelgsime į duomenų vertę, atitinkančią šios juostos pagrindą. Tai yra mūsų duomenų rinkinio režimas.

Ta pati idėja naudojama dirbant su nuolatiniu platinimu. Šį kartą norėdami rasti režimą, ieškome didžiausios paskirstymo smailės. Šio paskirstymo grafike smailės aukštis yra y reikšmė. Ši y reikšmė mūsų grafike vadinama maksimalia, nes vertė yra didesnė už bet kurią kitą y reikšmę. Režimas yra vertė išilgai horizontalios ašies, kuri atitinka šią didžiausią y vertę.

Nors norėdami rasti režimą, galime paprasčiausiai pažiūrėti paskirstymo grafiką, yra keletas šio metodo problemų. Mūsų tikslumas yra toks pat geras, kaip ir mūsų grafiko, ir greičiausiai turėsime įvertinti. Taip pat gali būti sunku apibūdinti mūsų funkciją.

Alternatyvus metodas, kuriam nereikia brėžinių, yra skaičiavimas. Mes naudosime šį metodą:

1. Pradėkite nuo tikimybės tankio funkcijos f (x) mūsų paskirstymui.
2. Apskaičiuokite pirmą ir antrą dariniai šios funkcijos: f '(x) ir f ''(x)
3. Nustatykite šį pirmąjį darinį lygų nuliui f '(x) = 0.
4. Spręskite dėl x.
5. Prijunkite ankstesnio veiksmo vertę (-es) prie antrojo darinio ir įvertinkite. Jei rezultatas yra neigiamas, tada turime vietinę maksimalią reikšmę x.
6. Įvertinkite mūsų funkciją f (x) visuose taškuose x nuo ankstesnio žingsnio.
7. Įvertinkite tikimybės tankio funkciją visuose jos palaikymo taškuose. Taigi, jei funkcijos domenas pateiktas uždaru intervalu [a, b], tada įvertinkite funkciją galiniuose taškuose a ir b.
8. Didžiausia 6 ir 7 žingsnių reikšmė bus absoliuti funkcijos maksimali reikšmė. X reikšmė, kai ši didžiausia yra, yra paskirstymo būdas.

Dabar mes einame aukščiau aprašytus veiksmus, kad apskaičiuotume chi-kvadrato pasiskirstymo režimą su r laisvės laipsniai. Mes pradedame nuo tikimybės tankio funkcijos f(x), kuris rodomas šio straipsnio paveikslėlyje.

f (x) = K x^{r / 2-1}e^{-x / 2}

Čia K yra konstanta, apimanti gama funkcija ir 2 galia. Nereikia žinoti specifikos (vis dėlto galime kreiptis į paveikslėlyje pateiktą formulę).

Pirmasis šios funkcijos darinys pateikiamas naudojant produkto taisyklė taip pat grandinės taisyklė:

f '( x ) = K (r / 2 - 1)x^{r / 2-2}e^{-x / 2} - (K / 2) x^{r / 2-1}e^{-x / 2}

Mes nustatome šį darinį lygų nuliui ir koeficientą išraiška dešinėje pusėje:

0 = K x^{r / 2-1}e^{-x / 2} [(r / 2 - 1)x^-1- 1/2]

Nuo pastovios K, eksponentinė funkcija ir x^{r / 2-1} visi nėra nulio, abi lygties puses galime padalyti iš šių išraiškų. Tada mes turime:

0 = (r / 2 - 1)x^-1- 1/2

Padauginkite abi lygties puses iš 2:

0 = (r - 2)x^-1- 1

Taigi 1 = (r - 2)x^-1ir mes darome išvadą turėdami x = r - 2. Tai yra taškas išilgai horizontalios ašies, kuriame vyksta režimas. Tai rodo x mūsų chi-kvadrato paskirstymo smailės vertė.

Kitas kreivės bruožas susijęs su kreivės forma. Kreivės dalis gali būti įgaubtos, kaip ir didžiosios raidės U. Kreivės taip pat gali būti įgaubtos žemyn ir formos sankryža simbolis ∩. Kur kreivė keičiasi nuo įgaubto žemyn iki įgaubto aukštyn, arba atvirkščiai, turime posūkio tašką.

Antrasis funkcijos darinys nustato funkcijos grafiko įgaubtumą. Jei antrasis darinys yra teigiamas, tada kreivė yra įgaubta. Jei antrasis darinys yra neigiamas, tada kreivė yra įgaubta žemyn. Kai antrasis darinys yra lygus nuliui, o funkcijos grafikas keičia įgaubtumą, turime posūkio tašką.

Norėdami rasti grafiko posūkio taškus, mes:

1. Apskaičiuokite antrąjį mūsų funkcijos darinį f ''(x).
2. Šį antrąjį darinį nustatykite lygų nuliui.
3. Išspręskite lygtį iš ankstesnio žingsnio x.

Dabar mes matome, kaip atlikti aukščiau aprašytus chi-kvadrato paskirstymo veiksmus. Mes pradedame diferencijuodami. Iš aukščiau pateikto darbo pamatėme, kad pirmasis mūsų funkcijos darinys yra:

f '(x) = K (r / 2 - 1) x^{r / 2-2}e^{-x / 2} - (K / 2) x^{r / 2-1}e^{-x / 2}

Mes vėl skiriamės, du kartus naudodamiesi produkto taisykle. Mes turime:

f ''( x ) = K (r / 2 - 1) (r / 2 - 2)x^{r / 2-3}e^{-x / 2} - (K / 2) (r / 2 - 1)x^{r / 2-2}e^{-x / 2} + (K / 4) x^{r / 2-1}e^{-x / 2} - (K / 2) (r / 2 - 1) x^{r / 2-2}e^{-x / 2}

Mes nustatome tai lygų nuliui ir padalijame abi puses iš Ke^{-x / 2}

0= (r / 2 - 1) (r / 2 - 2)x^{r / 2-3}- (1/2) (r / 2 - 1)x^{r / 2-2}+ (1/ 4) x^{r / 2-1}- (1/ 2)(r/2 - 1) x^{r / 2-2}

Derindami panašius terminus turime:

(r / 2 - 1) (r / 2 - 2)x^{r / 2-3}- (r / 2 - 1)x^{r / 2-2}+ (1/ 4) x^{r / 2-1}

Padauginkite abi puses iš 4x^{3 - r / 2}, tai suteikia mums:

0 = (r - 2) (r - 4) - (2r - 4)x+ x^2.

Dabar kvadratinę formulę galima naudoti sprendimui x.

x = [(2r - 4) +/- [(2r - 4)² - 4 (r - 2) (r - 4)]^1/2]/2

Išplečiame terminus, kurie vartojami 1/2 galios, ir pamatome šiuos dalykus:

(4r² -16r + 16) - 4 (r² -6r + 8) = 8r - 16 = 4 (2r - 4)

Tai reiškia, kad:

x = [(2r - 4) +/- [(4 (2r - 4)]^1/2] / 2 = (r - 2) +/- [2r - 4]^1/2

Iš to matome, kad yra du posūkio taškai. Be to, šie taškai yra simetriški pasiskirstymo būdo atžvilgiu, nes (r - 2) yra pusiaukelėje tarp dviejų posūkio taškų.

Matome, kaip abi šios savybės yra susijusios su laisvės laipsnių skaičiumi. Šią informaciją galime panaudoti eskizuojant chi-kvadrato paskirstymą. Taip pat galime palyginti šį paskirstymą su kitais, pavyzdžiui, normalųjį. Matome, kad chi-kvadrato pasiskirstymo taškai yra skirtingose ​​vietose nei posūkio taškai normaliam pasiskirstymui.