Dažnas parametrus dėl tikimybės pasiskirstymas apima vidurkį ir standartinį nuokrypį. Vidurkis parodo centro vidurį, o standartinis nuokrypis nurodo paskirstymo pasiskirstymą. Be šių gerai žinomų parametrų, yra ir kitų, atkreipiančių dėmesį į kitas ypatybes nei sklaida ar centras. Vienas iš tokių matavimų yra skeptiškumas. Pastovumas suteikia būdą, kaip paskirstyti asimetriją skaitmenine verte.
Vienas svarbus paskirstymas, kurį išnagrinėsime, yra eksponentinis pasiskirstymas. Pamatysime, kaip įrodyti, kad eksponentinio pasiskirstymo tiesumas yra 2.
Eksponentinio tikimybės tankio funkcija
Pirmiausia nurodome eksponentinio pasiskirstymo tikimybės tankio funkciją. Šie paskirstymai turi parametrą, kuris yra susijęs su parametru iš susijusių Puasono procesas. Šį paskirstymą mes žymime kaip Exp (A), kur A yra parametras. Šio paskirstymo tikimybės tankio funkcija yra:
f(x) = e-x/ A/ A, kur x yra neigiamas.
Čia e yra matematinė pastovus e tai yra maždaug 2.718281828. Eksponentinio skirstinio Exp (A) vidurkis ir standartinis nuokrypis yra abu susiję su parametru A. Tiesą sakant, ir vidutinis, ir standartinis nuokrypis yra lygūs A.
„Griežtumo“ apibrėžimas
Kreivumas apibūdinamas išraiška, susijusia su trečiuoju momentu apie vidurkį. Ši išraiška yra laukiama vertė:
E [(X - μ)3/σ3] = (E [X3] - 3μ E [X2] + 3μ2E [X] - μ3)/σ3 = (E [X3] – 3μ(σ2 – μ3)/σ3.
Μ ir σ pakeičiame A, ir rezultatas yra tai, kad tiesumas yra E [X3] / A3 – 4.
Lieka tik apskaičiuoti trečiąjį momentas apie kilmę. Tam turime integruoti:
∫∞0x3f(x) dx.
Šis integralas turi begalę vienos iš savo ribų. Taigi jis gali būti vertinamas kaip netinkamas I tipo integralas. Mes taip pat turime nustatyti, kokią integracijos techniką naudoti. Kadangi funkcija integruoti yra polinomos ir eksponentinės funkcijos sandauga, mes ją turėtume naudoti integracija dalimis. Ši integracijos technika taikoma keletą kartų. Galutinis rezultatas yra toks:
E [X3] = 6A3
Tada mes deriname tai su ankstesne lygties traškumu. Matome, kad stulbinimas yra 6 - 4 = 2.
Padariniai
Svarbu pažymėti, kad rezultatas nepriklauso nuo konkretaus eksponentinio pasiskirstymo, nuo kurio pradedame. Eksponentinio pasiskirstymo kreivumas nėra pagrįstas parametro A verte.
Be to, mes matome, kad rezultatas yra teigiamas įžūlumas. Tai reiškia, kad pasiskirstymas pasviręs į dešinę. Tai neturėtų nustebinti, nes galvojame apie tikimybės tankio funkcijos grafiko formą. Visi tokie pasiskirstymai turi y įsiterpimą kaip 1 // theta ir uodegą, einančią į dešinę grafiko dalį, atitinkančią dideles kintamojo reikšmes x.
Alternatyvus skaičiavimas
Be abejo, turėtume paminėti, kad yra dar vienas būdas apskaičiuoti skeptiškumą. Mes galime panaudoti momentų generavimo funkciją eksponentiniam paskirstymui. Pirmasis darinys momentą generuojanti funkcija įvertinus 0, gauname E [X]. Panašiai trečiasis momentą generuojančios funkcijos darinys, įvertintas 0, suteikia mums E (X3].