Jei paprašytumėte, kad kažkas įvardytų savo mėgstamą matematikos konstantą, tikriausiai įgysite keistoką išvaizdą. Po kurio laiko kažkas gali savanoriauti geriausia konstanta yra pi. Bet tai nėra vienintelė svarbi matematinė konstanta. Artima sekundė, jei ne, pretendentas į daugumos visur esančios konstantos karūną yra e. Šis skaičius parodytas skaičiuojant, skaičių teoriją, tikimybę ir statistika. Mes išnagrinėsime kai kurias šio nuostabaus skaičiaus ypatybes ir išsiaiškinsime, kokius ryšius jis turi su statistika ir tikimybe.
Vertė e
Kaip pi, e yra neracionalus tikras numeris. Tai reiškia, kad jo negalima rašyti kaip trupmenos, o jo dešimtainė plėtra tęsis amžinai, be pasikartojančių skaičių bloko. Skaičius e taip pat yra transcendentalinis, o tai reiškia, kad jis nėra ne nulio polinomo, turinčio racionalius koeficientus, šaknis. Pirmieji penkiasdešimt dešimtųjų tikslumu yra žymimi e = 2.71828182845904523536028747135266249775724709369995.
Apibrėžimas e
Skaičius e atrado žmonės, kuriems buvo įdomu sudėtiniais interesais. Esant tokiai palūkanų formai, vykdytojas uždirba palūkanas, o paskui uždirbtas palūkanas pats uždirba. Pastebėta, kad kuo dažnesnis laikotarpių sudėjimas per metus, tuo didesnė palūkanų suma. Pvz., Galėtume pažvelgti, kad susidomėjimas susideda:
- Kasmet arba kartą per metus
- Pusmetį arba du kartus per metus
- Mėnesį, arba 12 kartų per metus
- Kasdien, arba 365 kartus per metus
Bendra palūkanų suma padidėja kiekvienu iš šių atvejų.
Iškilo klausimas, kiek pinigų galima uždirbti iš palūkanų. Bandydami uždirbti dar daugiau pinigų, teoriškai galėtume padidinti sudėtinių periodų skaičių iki tiek, kiek norėjome. Galutinis šio padidėjimo rezultatas yra tas, kad mes manysime, kad susidomėjimas yra nuolat didinamas.
Nors susidomėjimas didėja, tai daroma labai lėtai. Bendra pinigų suma sąskaitoje iš tikrųjų stabilizuojasi, o vertė, kurią ji stabilizuoja, yra e. Norėdami tai išreikšti naudodami matematinę formulę, sakome, kad riba kaip n padidėjimas (1 + 1 /n)n = e.
Panaudojimas e
Skaičius e rodomas visoje matematikoje. Čia yra keletas vietų, kur jis atrodo:
- Tai yra natūralaus logaritmo pagrindas. Kadangi Napier išrado logaritmus, e kartais vadinama Napier konstanta.
- Skaičiuojant, eksponentinė funkcija ex turi unikalią savybę būti savo dariniu.
- Išraiškos, susijusios su ex ir e-x sujungti ir sudaryti hiperbolinę sinuso ir hiperbolinio kosinuso funkcijas.
- Eulerio darbo dėka mes žinome, kad pagrindinės matematikos konstantos yra tarpusavyje susijusios pagal formulę eiΠ + 1 = 0, kur i yra įsivaizduojamas skaičius, kuris yra neigiamos kvadrato šaknis.
- Skaičius e rodomas įvairiomis matematikos formulėmis, ypač skaičių teorijos srityje.
Vertė e statistikoje
Skaičiaus svarba e neapsiriboja tik keliomis matematikos sritimis. Taip pat yra keletas numerio naudojimo būdų e statistikoje ir tikimybėje. Keletas iš jų yra šie:
- Skaičius e pasirodo gama funkcijos formulė.
- Formulės: standartinis normalus pasiskirstymas apima e į neigiamą galią. Į šią formulę taip pat įeina pi.
- Daugelis kitų paskirstymų yra susiję su skaičiaus naudojimu e. Pvz., T-paskirstymo, gama paskirstymo ir chi-kvadrato paskirstymo formulėse yra visas skaičius e.