Čebiševo nelygybės darbalapis

Čebiševo nelygybė sako, kad bent 1 -1 /K² imties duomenų turi atitikti Kstandartiniai nuokrypiai nuo reiškia, kurK yra koks nors teigiamas tikras numeris didesnis nei vienas. Tai reiškia, kad mums nereikia žinoti mūsų duomenų paskirstymo formos. Turėdami tik vidurkį ir standartinį nuokrypį, galime nustatyti duomenų kiekį tam tikru skaičiumi standartinių nuokrypių nuo vidurkio.

Toliau pateikiamos kelios problemos, kurias reikia praktikuoti naudojant nelygybę.

Antrosios greiderių klasės vidutinis aukštis yra penkios pėdos, o standartinis vieno colio nuokrypis yra. Bent koks procentas klasės turi būti tarp 4–10 “–5“?

Aukštis, nurodytas aukščiau esančiame intervale, yra dviejų standartinių nuokrypių nuo vidutinio penkių pėdų aukščio. Čebiševo nelygybė sako, kad mažiausiai 1 - 1/2² = 3/4 = 75% klasės yra nurodytame aukščio diapazone.

Nustatyta, kad tam tikros įmonės kompiuteriai vidutiniškai tarnauja trejus metus be jokių aparatūros sutrikimų, o standartinis nuokrypis yra du mėnesiai. Bent koks procentas kompiuterių trunka nuo 31 iki 41 mėnesio?

Vidutinis trejų metų gyvenimo laikotarpis atitinka 36 mėnesius. Kiekvienas laikotarpis nuo 31 iki 41 mėnesio yra 5/2 = 2,5 standartinių nuokrypių nuo vidurkio. Pagal Chebyshevo nelygybę mažiausiai 1 - 1 / (2,5) 6² = 84% kompiuterių veikia nuo 31 mėnesio iki 41 mėnesio.

Bakterijos kultūroje gyvena vidutiniškai tris valandas, kai standartinis nuokrypis yra 10 minučių. Bent kokia dalis bakterijų gyvena nuo dviejų iki keturių valandų?

Dvi ir keturios valandos yra viena valanda nuo vidurkio. Viena valanda atitinka šešis standartinius nuokrypius. Taigi bent 1 - 1/6² = 35/36 = 97% bakterijų gyvena nuo dviejų iki keturių valandų.

Kiek yra mažiausių standartinių nuokrypių nuo vidurkio, kurį turime pasiekti, jei norime įsitikinti, kad turime bent 50% paskirstymo duomenų?

Čia mes naudojame „Chebyshev“ nelygybę ir dirbame atgal. Mes norime 50% = 0,50 = 1/2 = 1 - 1 /K². Tikslas yra naudoti algebra spręsti K.

Matome, kad 1/2 = 1 /K². Kryžius dauginkite ir pamatykite, kad 2 =K². Mes paimame kvadratinę šaknį iš abiejų pusių, o nuo K yra standartinių nuokrypių skaičius, mes nepaisome neigiamo lygties sprendimo. Tai rodo tai K yra lygus kvadratinei šakniai iš dviejų. Taigi mažiausiai 50% duomenų yra maždaug 1,4 standartinio nuokrypio nuo vidurkio.

25 autobuso maršrutas vidutiniškai trunka 50 minučių, o standartinis nuokrypis yra 2 minutės. Šios autobusų sistemos reklaminiame plakate teigiama, kad „95% maršruto Nr. 25 maršruto laikas trunka nuo ____ iki _____ minučių“. Kokiais skaičiais užpildytumėte blankus?

Šis klausimas yra panašus į paskutinįjį, kurį turime išspręsti K, standartinių nuokrypių nuo vidurkio skaičius. Pradėkite nustatydami 95% = 0,95 = 1 - 1 /K². Tai rodo, kad 1 - 0,95 = 1 /K². Paprasčiau pamatyti, kad 1 / 0,05 = 20 = K². Taigi K = 4.47.

Dabar išreikškite tai aukščiau. Mažiausiai 95% visų važiavimų yra 4,47 standartiniai nuokrypiai nuo vidutinio 50 minučių laiko. Padauginkite 4.47 iš standartinio nuokrypio 2, kad gautumėte devynias minutes. Taigi 95% laiko 25 maršruto autobusas trunka nuo 41 iki 59 minučių.