Chi-kvadrato testo pavyzdys daugialypiam eksperimentui

Vieną naudojimą chi-kvadrato pasiskirstymas yra su daugialypių eksperimentų hipotezės testais. Norėdami pamatyti, kaip tai hipotezės testas darbus, nagrinėsime šiuos du pavyzdžius. Abu pavyzdžiai veikia tuo pačiu žingsnių rinkiniu:

1. Suformuokite niekinę ir alternatyvią hipotezes
2. Apskaičiuokite bandymo statistiką
3. Raskite kritinę vertę
4. Priimkite sprendimą, ar atmesti mūsų niekinę hipotezę, ar jos atmesti.

Norėdami pamatyti savo pirmąjį pavyzdį, norime pažvelgti į monetą. Sąžininga moneta turi tokią pačią tikimybę, kad 1/2 išlenks ant galvos ar uodegos. Mes numetame monetą 1000 kartų ir užrašome 580 galvų ir 420 uodegų rezultatus. Mes norime patikrinti hipotezę 95% patikimumo lygiu, kad moneta, kurią apvertėme, yra teisinga. Formaliau - niekinė hipotezėH₀ yra tai, kad moneta yra teisinga. Kadangi mes lyginame stebėtus monetų išmetimo rezultatų dažnius su tikėtinu idealizuotos sąžiningos monetos dažniu, reikėtų naudoti chi-kvadrato testą.

Pradėsime apskaičiuodami chi-kvadrato statistiką šiam scenarijui. Yra du įvykiai: galvos ir uodegos. Galvos stebimas dažnis f₁ = 580 su numatomu dažniu e₁ = 50% x 1000 = 500. Stebimas uodegų dažnis f₂ = 420 su numatomu dažniu e₁ = 500.

Dabar naudojame chi-kvadrato statistikos formulę ir matome, kad χ² = (f₁ - e₁ )²/e₁ + (f₂ - e₂ )²/e₂= 80²/500 + (-80)²/500 = 25.6.

Toliau turime rasti tinkamo chi-kvadrato paskirstymo kritinę vertę. Kadangi yra dvi monetos baigtys, reikia atsižvelgti į dvi kategorijas. Skaičius laisvės laipsniai yra viena mažesnė už kategorijų skaičių: 2 - 1 = 1. Šiam laisvės laipsnių skaičiui naudojame chi-kvadrato paskirstymą ir matome, kad χ²_0.95=3.841.

Galiausiai palyginame apskaičiuotą chi-kvadrato statistiką su kritine verte iš lentelės. Nuo 25,6> 3,841 atmetame niekinę hipotezę, kad tai yra teisinga moneta.

Sąžiningas štampas turi tokią pačią tikimybę 1/6 sukti vieną, du, tris, keturis, penkis ar šešis. Mes susukame štampą 600 kartų ir atkreipiame dėmesį, kad sukame vieną 106 kartus, du 90 kartų, tris 98 kartus, keturis 102 kartus, penkis 100 kartų ir šešis 104 kartus. Mes norime patikrinti hipotezę 95% pasitikėjimo lygiu, kad turime teisingą mirtį.

Yra šeši įvykiai, kurių kiekvieno dažnis yra 1/6 x 600 = 100. Stebimi dažniai yra f₁ = 106, f₂ = 90, f₃ = 98, f₄ = 102, f₅ = 100, f₆ = 104,

Dabar naudojame chi-kvadrato statistikos formulę ir matome, kad χ² = (f₁ - e₁ )²/e₁ + (f₂ - e₂ )²/e₂+ (f₃ - e₃ )²/e₃+(f₄ - e₄ )²/e₄+(f₅ - e₅ )²/e₅+(f₆ - e₆ )²/e₆ = 1.6.

Toliau turime rasti tinkamo chi-kvadrato paskirstymo kritinę vertę. Kadangi yra šešios mirties pasekmių kategorijos, laisvės laipsnių skaičius yra vienas mažesnis nei šis: 6 - 1 = 5. Mes naudojame chi-kvadrato paskirstymą penkiems laisvės laipsniams ir matome, kad χ²_0.95=11.071.

Galiausiai palyginame apskaičiuotą chi-kvadrato statistiką su kritine verte iš lentelės. Kadangi apskaičiuota chi-kvadrato statistika yra 1,6 yra mažesnė už mūsų kritinę vertę 11,071, mes nesugeba atmesti niekinė hipotezė.