Simetrinio skirtumo apibrėžimo supratimas

Rinkinio teorija naudoja daugybę skirtingų operacijų, kad sukonstruotų naujus rinkinius iš senų. Yra keletas būdų, kaip iš tam tikrų rinkinių pasirinkti tam tikrus elementus, o kitus pašalinti. Rezultatas paprastai yra rinkinys, kuris skiriasi nuo pradinio. Svarbu turėti gerai apibrėžtus šių naujų rinkinių konstravimo būdus, jų pavyzdžiai: sąjunga, sankryžair dviejų rinkinių skirtumas. Tikriausiai mažiau žinoma rinkinio operacija vadinama simetriniu skirtumu.

Norėdami suprasti simetrinio skirtumo apibrėžimą, pirmiausia turime suprasti žodį „arba“. Nors žodis „arba“ anglų kalba yra mažas, jį galima naudoti skirtingai. Tai gali būti išimtinė arba įtraukianti (ir ji buvo tiesiog naudojama tik šiame sakinyje). Jei mums sakoma, kad galime rinktis iš A arba B, o prasmė yra išskirtinė, tada mes galime turėti tik vieną iš dviejų variantų. Jei prasmė yra visa apimanti, tada mes galime turėti A, galime turėti B arba galime turėti ir A, ir B.

Paprastai kontekstas vadovaujasi, kai prieštaraujame žodžiui arba mums net nereikia galvoti, kokiu būdu jis naudojamas. Jei mūsų paklaus, ar mes norėtume grietinėlės ar cukraus?

Taigi žodis „arba“ sąvokos sąvokoje vartojamas įtraukiančiąja prasme. A ir B aibių sąjunga yra elementų, esančių A arba B, aibė (įskaitant tuos elementus, kurie yra abiejuose rinkiniuose). Bet tampa verta turėti rinkinį, kuris sukonstruoja rinkinį, kuriame yra elementai A arba B, kur „arba“ vartojama išskirtine prasme. Tai mes vadiname simetriniu skirtumu. Simetriškas grupių A ir B skirtumas yra tie elementai, esantys A arba B, bet ne tiek A, tiek B. Nors žymėjimas skiriasi dėl simetrinio skirtumo, mes parašysime tai kaip A ∆ B

Simetrinio skirtumo pavyzdyje mes apsvarstysime rinkinius A = {1,2,3,4,5} ir B = {2,4,6}. Simetriškas skirtumas tarp šių aibių yra {1,3,5,6}.

Simetriniam skirtumui apibrėžti galima naudoti kitas nustatytas operacijas. Iš aukščiau pateikto apibrėžimo aišku, kad simetrišką A ir B skirtumą galime išreikšti kaip A ir B sąjungos bei A ir B sankirtos skirtumą. Simboliuose rašome: A ∆ B = (A ∪ B) - (A ∩ B).

Lygiavertė išraiška, naudojant keletą skirtingų rinkinių operacijų, padeda paaiškinti vardo simetrinį skirtumą. Užuot vartoję aukščiau pateiktą formuluotę, simetrinį skirtumą galime parašyti taip: (A - B) ∪ (B - A). Čia vėl matome, kad simetriškas skirtumas yra elementų rinkinys A, bet ne B, arba B, bet ne A. Taigi mes pašalinome tuos elementus A ir B sankirtoje. Matematiškai galima įrodyti, kad šios dvi formulės yra lygiavertės ir nurodo tą patį rinkinį.

Pavadinimo simetrinis skirtumas rodo ryšį su dviejų rinkinių skirtumu. Šis nustatytas skirtumas akivaizdus abiejose aukščiau pateiktose formulėse. Kiekviename iš jų buvo apskaičiuotas dviejų aibių skirtumas. Tai, kas simetrinį skirtumą išskiria iš skirtumo, yra jo simetrija. Pagal konstrukciją A ir B vaidmenys gali būti pakeisti. Tai netinka skirtumui tarp dviejų rinkinių.

Norėdami pabrėžti šį tašką, šiek tiek dirbdami pamatysime simetrinio skirtumo simetriją, nes matome A ∆ B = (A - B) ∪ (B - A) = (B - A) ∪ (A - B) = B ∆ A.