3 ar daugiau rinkinių sąjungos tikimybė

Kai yra du įvykiai vienas kitą paneigiantys, jų tikimybė sąjunga galima apskaičiuoti naudojant papildymo taisyklė. Mes žinome, kad norint sukti štampą, sukti skaičių, didesnį nei keturi arba mažesnį nei trys, yra vienas kitą paneigiantys įvykiai, neturintys nieko bendra. Taigi, norėdami rasti šio įvykio tikimybę, tiesiog pridedame tikimybę, kad sulenksime skaičių, didesnį nei keturi, prie tikimybės, kad sulenksime skaičių, mažesnį nei trys. Simboliuose mes turime šiuos, kur sostinė P žymi „tikimybę“:

P(daugiau nei keturi arba mažiau nei trys) = P(didesnis nei keturi) + P(mažiau nei trys) = 2/6 + 2/6 = 4/6.

Jei įvykiai yra ne vienas kitą atstumiantys, tada mes ne tik sudėsime įvykių tikimybes kartu, bet turime atimti ir įvykių tikimybę. sankryža įvykių. Atsižvelgiant į įvykius A ir B:

P(A U B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B).

Mes atsimename galimybę dvigubai suskaičiuoti tuos elementus, kurie yra abiejuose A ir B, ir todėl mes atimame sankryžos tikimybę.

Iš to kyla klausimas: „Kodėl reikia sustoti su dviem rinkiniais? Kokia yra daugiau nei dviejų aibių susivienijimo tikimybė? “

Pirmiau pateiktas idėjas pateiksime situacijai, kai turime tris rinkinius, kuriuos mes ir apibūdinsime A, Bir C. Mes daugiau nieko to nepagalvosime, todėl yra tikimybė, kad rinkinių sankryža nėra tuščia. Tikslas bus apskaičiuoti tikimybė šių trijų rinkinių sąjungos, arba P (A U B U C).

Anksčiau aptarta dviejų rinkinių diskusija tebėra. Galime sudėti atskirų rinkinių tikimybes A, Bir C, tačiau tai darydami mes dvigubai suskaičiavome kai kuriuos elementus.

Elementai sankirtoje A ir B buvo dvigubai skaičiuojami kaip ir anksčiau, tačiau dabar yra ir kitų elementų, kurie potencialiai buvo skaičiuojami du kartus. Elementai sankirtoje A ir C ir sankryžoje B ir C dabar taip pat buvo suskaičiuoti du kartus. Taigi tikimybes iš šių sankryžų taip pat reikia atimti.

Bet ar mes per daug atėmėme? Yra kažkas naujo, kad manytume, jog mums nereikėjo rūpėti, kai buvo tik du rinkiniai. Kaip ir bet kurie du rinkiniai gali turėti sankryžą, visi trys rinkiniai taip pat gali turėti sankryžą. Bandydami įsitikinti, kad nieko dvigubai neskaičiavome, neapskaičiavome visų tų elementų, kurie rodomi visuose trijuose rinkiniuose. Taigi visų trijų aibių sankirtos tikimybė turi būti pridėta atgal.

Čia yra formulė, kuri gauta iš aukščiau pateiktos diskusijos:

P (A U B U C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A ∩ B) - P(A ∩ C) - P(B ∩ C) + P(A ∩ B ∩ C)

Tarkime, kad norėdami pamatyti trijų rinkinių sąjungos tikimybės formulę, mes žaidžiame stalo žaidimą ridendamas du kauliukus. Dėl žaidimo taisyklių, norint laimėti, reikia bent vieno iš štampų, kad būtų du, trys ar keturi. Kokia to tikimybė? Atkreipiame dėmesį, kad bandome apskaičiuoti trijų įvykių sąjungos tikimybę: riedėti mažiausiai vieną du, riedėti mažiausiai vieną tris, riedėti mažiausiai vieną keturis. Taigi mes galime naudoti aukščiau pateiktą formulę su tokiomis tikimybėmis:

• Dviejų pasisukimo tikimybė yra 11/36. Skaičiuotuvas gaunamas iš to, kad yra šeši rezultatai, kai pirmasis štampas yra du, šeši, kai antrasis štampas yra du, ir vienas rezultatas, kai abu kauliukai yra dvigubi. Tai suteikia mums 6 + 6 - 1 = 11.
• Trijulės tikimybė yra 11/36 dėl tos pačios priežasties, kaip nurodyta aukščiau.
• Dėl tos pačios priežasties, kaip nurodyta aukščiau, keturkojo apvirtimo tikimybė yra 11/36.
• Dviejų ir trijų riedėjimo tikimybė yra 2/36. Čia mes galime tiesiog išvardyti galimybes, kurios dvi galėtų patekti pirmos arba antros.
• Dviejų ir keturių riedėjimo tikimybė yra 2/36, dėl tos pačios priežasties, kad dvejų ir trejų tikimybė yra 2/36.
• Dviejų, trijų ir keturių pasukimo tikimybė yra 0, nes mes sukame tik du kauliukus ir nėra galimybės gauti tris skaičius su dviem kauliukais.

Dabar naudojame formulę ir matome, kad tikimybė gauti bent du, tris ar keturis yra

11/36 + 11/36 + 11/36 – 2/36 – 2/36 – 2/36 + 0 = 27/36.

Priežastis, kodėl keturių aibių vieningumo tikimybės formulė turi savo formą, yra panaši į trijų aibių formulės pagrindimą. Didėjant rinkinių skaičiui, didėja ir porų, trigubų ir pan. Skaičius. Su keturiais rinkiniais yra šešios sankryžos poromis, kurios turi būti atimtos, keturios trigubos sankryžos, kurias reikia atimti, o dabar keturguba sankryža, kurią reikia atimti. Duota keturi rinkiniai A, B, C ir D, šių rinkinių sujungimo formulė yra tokia:

P (A U B U C U D) = P(A) + P(B) + P(C) +P(D) - P(A ∩ B) - P(A ∩ C) - P(A ∩ D)- P(B ∩ C) - P(B ∩ D) - P(C ∩ D) + P(A ∩ B ∩ C) + P(A ∩ B ∩ D) + P(A ∩ C ∩ D) + P(B ∩ C ∩ D) - P(A ∩ B ∩ C ∩ D).

Galėtume parašyti formules (kurios atrodytų dar baisiau, nei pateiktos aukščiau), kad būtų tikėtina, kad bus daugiau nei keturi rinkiniai, o nagrinėdami aukščiau pateiktas formules turėtume pastebėti kai kuriuos modelius. Šie modeliai tinka apskaičiuoti daugiau nei keturių rinkinių unijas. Bet kurio aibių skaičiaus vieningumo tikimybė gali būti nustatyta taip:

1. Pridėkite atskirų įvykių tikimybes.
2. Atimkite sankryžų tikimybės kiekvienos įvykių poros.
3. Pridėkite kiekvieno trijų įvykių aibės sankirtos tikimybes.
4. Atimkite kiekvieno keturių įvykių aibės sankirtos tikimybes.
5. Tęskite šį procesą, kol paskutinė tikimybė yra bendro aibių, nuo kurių pradėjome, sankirtos tikimybė.