Sąlyginė tikimybė: žymėjimas ir pavyzdžiai

Tiesus pavyzdys sąlyginis tikimybė yra tikimybė, kad kortelė, ištraukta iš standartinio kortų denio, yra karalius. Iš viso yra keturi karaliai iš 52 kortų, taigi tikimybė yra tiesiog 4/52. Su šiuo skaičiavimu susijęs toks klausimas: „kokia tikimybė, kad mes nupieškime karalių, atsižvelgiant į tai mes jau ištraukėme kortelę iš denio ir tai yra tūzas? “Čia mes manome, kad denio turinys yra korteles. Vis dar yra keturi karaliai, tačiau dabar denyje yra tik 51 kortelė. Karaliaus nupiešimo tikimybė, atsižvelgiant į tai, kad jau nupieštas tūzas, yra 4/51.

Sąlyginė tikimybė apibrėžiama kaip įvykio tikimybė, atsižvelgiant į tai, kad įvyko kitas įvykis. Jei pavadintume šiuos įvykius A ir B, tada galime kalbėti apie A duota B. Taip pat galėtume remtis A priklausomas nuo B.

Sąlyginės tikimybės žymėjimas skiriasi nuo vadovėlio. Visuose žymėjimuose nurodoma, kad mūsų minima tikimybė priklauso nuo kito įvykio. Vienas iš labiausiai paplitusių žymėjimų tikimybei atsirasti A duota B yra P (A | B). Kitas žymėjimas, kuris naudojamas, yra P_B(A).

Yra sąlyginės tikimybės formulė, kuri ją susieja su A ir B:

P (A | B) = P (A ∩ B) / P (B)

Iš esmės ši formulė sako, kad reikia apskaičiuoti sąlyginę įvykio tikimybę A atsižvelgiant į įvykį B, mes keičiame savo pavyzdinę erdvę, kad ją sudarytų tik rinkinys B. Atlikdami tai, mes neaptariame viso įvykio A, bet tik dalis A tai taip pat yra B. Ką tik aprašytą rinkinį galime labiau identifikuoti kaip sankryža apie A ir B.

Mes galime naudoti algebra aukščiau pateiktą formulę išreikšti kitaip:

P (A ∩ B) = P (A | B) P (B)

Atsižvelgdami į šią informaciją, pakartosime pavyzdį, kurį pradėjome. Norime sužinoti tikimybę nupiešti karalių, atsižvelgiant į tai, kad jau nupieštas tūzas. Taigi įvykis A kad mes nupieškime karalių. Renginys B yra tai, kad mes atkreipiame tūzą.

Tikimybė, kad įvyks abu įvykiai ir mes nupiešime tūzą, o tada karalius atitinka P (A ∩ B). Šios tikimybės reikšmė yra 12/2652. Įvykio tikimybė B, kad mes atkreipti tūzas yra 4/52. Taigi mes naudojame sąlyginės tikimybės formulę ir matome, kad nubrėžta karalius, išskyrus duotą tūzą, yra (16/2652) / (4/52) = 4/51.

Kitas pavyzdys - panagrinėsime tikimybių eksperimentą susukite du kauliukus. Klausimas, kurį galime užduoti, yra: „Kokia tikimybė, kad aplenkėme trejetą, atsižvelgiant į tai, kad suvedėme mažiau nei šešis?“

Čia renginys A yra tai, kad mes sukūrėme tris ir įvykis B yra tai, kad sumojome mažiau nei šešias sumas. Iš viso yra 36 būdai, kaip susukti du kauliukus. Iš šių 36 būdų galime surinkti mažiau nei šešias sumas iš dešimties būdų:

• 1 + 1 = 2
• 1 + 2 = 3
• 1 + 3 = 4
• 1 + 4 = 5
• 2 + 1 = 3
• 2 + 2 = 4
• 2 + 3 = 5
• 3 + 1 = 4
• 3 + 2 = 5
• 4 + 1 = 5

Yra keletas atvejų, kai sąlyginė tikimybė A atsižvelgiant į įvykį B yra lygus tikimybei A. Šioje situacijoje sakome, kad įvykiai A ir B yra nepriklausomi vienas nuo kito. Aukščiau pateikta formulė tampa:

P (A | B) = P (A) = P (A ∩ B) / P (B),

ir atgauname formulę, pagal kurią nepriklausomų įvykių tikimybė yra abiem A ir B randamas padauginus kiekvieno iš šių įvykių tikimybes:

P (A ∩ B) = P (B) P (A)

Kai du įvykiai yra nepriklausomi, tai reiškia, kad vienas įvykis neturi jokios įtakos kitam. Vienos monetos, tada kitos monetos, apvertimas yra nepriklausomų įvykių pavyzdys. Vienos monetos atvertimas neturi jokios įtakos kitai.

Labai atsargiai nustatykite, kuris įvykis priklauso nuo kito. Apskritai P (A | B) nėra lygus P (B | A). Tai yra tikimybė A atsižvelgiant į įvykį B nėra tas pats, kas tikimybė B atsižvelgiant į įvykį A.

Aukščiau pateiktame pavyzdyje matėme, kad ridenant du kauliukus, riedėjimo trimis tikimybė, turint omenyje, kad mes suktume mažesnę nei šešių sumą, buvo 4/10. Kita vertus, kokia yra mažesnės nei šešių sumos tikėjimo tikimybė, atsižvelgiant į tai, kad mes suvedėme tris? Trijų ir mažesnių nei šešių sumos tikimybė yra 4/36. Mažiausiai vieno trijų riedėjimo tikimybė yra 11/36. Taigi sąlyginė tikimybė šiuo atveju yra (4/36) / (11/36) = 4/11.