Viena operacija, dažnai naudojama formuojant naujus rinkinius iš senų, vadinama sąjunga. Paprastai vartojamas žodis sąjunga reiškia susibūrimą, pavyzdžiui, organizuoto darbo ar profesinės sąjungos Sąjungos valstybė adresą, kurį JAV Prezidentas daro prieš bendrą Kongreso sesiją. Matematiškai dviejų rinkinių sąjunga išlaiko šią idėją sujungti. Tiksliau, dviejų rinkinių sąjunga A ir B yra visų elementų rinkinys x toks kad x yra rinkinio elementas A arba x yra rinkinio elementas B. Žodis, reiškiantis, kad mes naudojame sąjungą, yra žodis „arba“.
Žodis „arba“
Kai kasdieniuose pokalbiuose naudojame žodį „arba“, mes galime nesuvokti, kad šis žodis vartojamas dviem skirtingais būdais. Būdas paprastai nustatomas iš pokalbio konteksto. Jei jūsų paklaustų „Ar norėtumėte vištienos ar kepsnio?“ Įprasta reiškia, kad jūs galite turėti vieną ar kitą, bet ne abu. Prieštaraukite klausimui: „Ar norėtumėte sviesto ar grietinės ant savo keptos bulvės?“ Čia „arba“ yra vartojama įtraukiančiąja prasme, nes jūs galite pasirinkti tik sviestą, tik grietinę arba tiek sviestą, tiek rūgščią grietinėlės.
Matematikoje žodis „arba“ vartojamas įtraukiančiąja prasme. Taigi teiginys „x yra A arba elementas B"reiškia, kad galima viena iš trijų:
- x yra teisingumo elementas A o ne elementas B
- x yra teisingumo elementas B o ne elementas A.
- x yra abiejų elementas A ir B. (Taip pat galime pasakyti x yra sankirtos elementas A ir B
Pavyzdys
Pažvelkime į pavyzdžius, kaip dviejų rinkinių sąjunga sudaro naują rinkinį A = {1, 2, 3, 4, 5} ir B = {3, 4, 5, 6, 7, 8}. Norėdami rasti šių dviejų rinkinių jungtį, mes paprasčiausiai išvardijame kiekvieną matomą elementą, atsargiai, kad nesikartotų jokie elementai. Skaičiai 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 yra arba viename, arba kitame rinkinyje, todėl A ir B yra {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}.
Pažymėjimas Sąjungai
Svarbu ne tik suprasti sąvokas, susijusias su nustatytomis teorijos operacijomis, bet ir mokėti skaityti simbolius, naudojamus šioms operacijoms žymėti. Simbolis, naudojamas sujungiant du rinkinius A ir B yra suteikta A ∪ B. Vienas iš būdų atsiminti simbolį ∪ reiškia sąjungą - pastebėti jo panašumą į kapitalą U, kuri yra trumpas žodis „sąjunga“. Būkite atsargūs, nes sąjungos simbolis yra labai panašus į sankryža. Vienas iš kitų gaunamas vertikaliu apversimu.
Norėdami pamatyti šį žymėjimą veikdami, grįžkite į aukščiau pateiktą pavyzdį. Čia mes turėjome rinkinius A = {1, 2, 3, 4, 5} ir B = {3, 4, 5, 6, 7, 8}. Taigi parašytume lygtį A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 }.
Sąjunga su tuščiu rinkiniu
Viena pagrindinė tapatybė, apimanti sąjungą, parodo mums, kas nutinka, kai imame bet kurio rinkinio sujungimą su tuščiu rinkiniu, žymimu # 8709. Tuščias rinkinys yra rinkinys, kuriame nėra elementų. Taigi prisijungimas prie bet kurio kito rinkinio neturės jokios įtakos. Kitaip tariant, bet kurio rinkinio sujungimas su tuščiu rinkiniu mums grąžins originalų rinkinį
Naudojant mūsų žymėjimą, ši tapatybė tampa dar kompaktiškesnė. Mes turime tapatybę: A ∪ ∅ = A.
Sąjunga su universaliu komplektu
Kita vertus, kas atsitinka, kai mes išnagrinėjame rinkinio sąjunga su universaliu komplektu? Kadangi universaliame rinkinyje yra kiekvienas elementas, mes negalime nieko papildyti. Taigi sąjunga ar bet koks rinkinys su universaliu komplektu yra universalus rinkinys.
Vėlgi, mūsų žymėjimas padeda mums išreikšti šią tapatybę kompaktiškesniu formatu. Bet kokiam rinkiniui A ir universalus rinkinys U, A ∪ U = U.
Kitos su Sąjunga susijusios tapatybės
Yra daug daugiau nustatytų tapatybių, susijusių su sąjungos operacija. Aišku, visada gera praktika vartojant aibės teorijos kalbą. Keletas svarbesnių yra išdėstyti žemiau. Visiems rinkiniams Air B ir D mes turime:
- Refleksinis turtas: A ∪ A =A
- Komutacinis turtas: A ∪ B = B ∪ A
- Asociacinis turtas: (A ∪ B) ∪ D =A ∪ (B ∪ D)
- „DeMorgan“ įstatymas I: (A ∩ B)C = AC ∪ BC
- „DeMorgan's Law II“: (A ∪ B)C = AC ∩ BC