Atsitiktinio kintamojo pasiskirstymo dispersija yra svarbi savybė. Šis skaičius rodo paskirstymo plitimą, ir jis randamas dalijant standartinis nuokrypis. Vienas dažniausiai naudojamas atskiras paskirstymas tai yra Puasono paskirstymas. Pamatysime, kaip apskaičiuoti Puasono pasiskirstymo dispersiją naudojant parametrą λ.
Puasono paskirstymas
Puasono pasiskirstymai naudojami, kai turime kažkokį kontinuumą ir skaičiuojame atskirus pokyčius šiame kontinuume. Tai atsitinka, kai atsižvelgiame į žmonių, kurie per valandą atvyksta į kino bilietų kasą, skaičių automobilių, važiuojančių per sankryžą su keturių krypčių stotelėmis, skaičius arba suskaičiuojamas trūkumų, atsirandančių per ilgį, skaičius viela.
Jei atliksime keletą aiškinančių prielaidų šiuose scenarijuose, tada šios situacijos atitinka Puasono proceso sąlygas. Tada sakome, kad atsitiktinis kintamasis, kuris skaičiuoja pakeitimų skaičių, turi Puasono pasiskirstymą.
Puasono pasiskirstymas iš tikrųjų reiškia begalinę paskirstymų šeimą. Šie paskirstymai aprūpinti vienu parametru λ. Parametras yra teigiamas
tikras numeris tai glaudžiai susiję su numatomu tęstinumo pokyčių skaičiumi. Be to, pamatysime, kad šis parametras yra lygus ne tik reiškia paskirstymo, bet taip pat ir paskirstymo dispersiją.Masės tikimybės funkciją Puasono pasiskirstymui suteikia:
f(x) = (λxe-λ)/x!
Šia išraiška raidė e yra skaičius ir yra matematinė konstanta, kurios vertė maždaug lygi 2.718281828. Kintamasis x gali būti bet koks neigiamas sveikasis skaičius.
Variacijos apskaičiavimas
Norėdami apskaičiuoti Puasono pasiskirstymo vidurkį, naudojame šį pasiskirstymą momentą generuojanti funkcija. Matome, kad:
M( t ) = E [etX] = Σ etXf( x) = ΣetX λxe-λ)/x!
Dabar prisimename „Maclaurin“ seriją eu. Kadangi bet koks funkcijos darinys eu yra eu, visi šie dariniai, įvertinti nuliu, suteikia mums 1. Rezultatas yra serija eu = Σ un/n!.
Naudojant „Maclaurin“ seriją eu, akimirką generuojančią funkciją galime išreikšti ne kaip seriją, o uždaru pavidalu. Mes sujungiame visus terminus su x. Taigi M(t) = eλ(et - 1).
Dabar mes randame dispersiją paimdami antrąjį darinį M ir įvertindamas tai esant nuliui. Nuo M’(t) =λetM(t), antrajam dariniui apskaičiuoti naudojame produkto taisyklę:
M’’(t)=λ2e2tM’(t) + λetM(t)
Įvertiname tai ties nuliu ir nustatome M’’(0) = λ2 + λ. Tada pasinaudojame tuo, kad M'(0) = λ dispersijai apskaičiuoti.
Var (X) = λ2 + λ – (λ)2 = λ.
Tai rodo, kad parametras λ yra ne tik Puasono skirstinio vidurkis, bet ir jo dispersija.