Tikimybės ir melagio kauliukai

Daugybė azartinių žaidimų gali būti analizuojami naudojant tikimybių matematiką. Šiame straipsnyje nagrinėsime įvairius žaidimo, pavadinto „Liar’s Dice“, aspektus. Aprašę šį žaidimą, apskaičiuosime su juo susijusias tikimybes.

Žaidimas „Liar’s Dice“ iš tikrųjų yra šeima, kurioje žaidžiamas blefavimas ir apgaulė. Yra daugybė šio žaidimo variantų, ir jis vadinamas keliais skirtingais vardais, tokiais kaip „Piratų kauliukas“, „Apgaulė“ ir „Dudo“. Šio žaidimo versija buvo parodyta filme „Karibų piratai: negyvo žmogaus krūtinė“.

Toje žaidimo versijoje, kurią mes išnagrinėsime, kiekvienas žaidėjas turi puodelį ir tokio paties skaičiaus kauliukų rinkinį. Kauliukai yra standartiniai šešių pusių kauliukai, sunumeruoti nuo vieno iki šešių. Kiekvienas susuka savo kauliuką, laikydamas uždengtą puodeliu. Tinkamu metu žaidėjas pažvelgia į savo kauliukų rinkinį, paslėpdamas jį nuo visų kitų. Žaidimas yra suprojektuotas taip, kad kiekvienas žaidėjas turėtų puikių žinių apie savo kauliukų rinkinį, tačiau neturi žinių apie kitus kauliukus, kurie buvo išmesti.

Po to, kai visi turėjo galimybę pažvelgti į savo išmestus kauliukus, prasidėjo kainų siūlymas. Kiekviename ruože žaidėjas gali pasirinkti du variantus: padaryti didesnį pasiūlymą arba vadinti ankstesnį pasiūlymą melagiu. Pasiūlymai gali būti didesni pateikiant didesnę kauliukų vertę nuo vieno iki šešių arba pasiūlant didesnį skaičių tos pačios kauliukų vertės.

Pvz., „Trijų dvynių“ pasiūlymą galima padidinti nurodant „Keturi dvyniai“. Jis taip pat galėtų būti padidintas sakydamas „trys trys“. Apskritai, nei kauliukų skaičius, nei kauliukų reikšmės negali sumažėti.

Kadangi dauguma kauliukų yra paslėpti, svarbu žinoti, kaip apskaičiuoti kai kurias tikimybes. Žinant tai, lengviau suprasti, kokie pasiūlymai yra tikri, o kokie - melas.

Pirmiausia reikia paklausti: „Kiek daug tos pačios rūšies kauliukų tikėtumei?“ Pvz., Jei mesime penkis kauliukus, kiek iš jų mes tikimės, kad bus du? Atsakant į šį klausimą naudojama mintis tikėtina vertė.

Tikėtina atsitiktinio kintamojo vertė yra tam tikros vertės tikimybė, padauginta iš šios vertės.

Tikimybė, kad pirmasis miršta du, yra 1/6. Kadangi kauliukai yra vienas nuo kito nepriklausomi, tikimybė, kad kuris nors iš jų yra dvejetainis, yra 1/6. Tai reiškia, kad numatomas surinktų porų skaičius yra 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 = 5/6.

Aišku, nieko ypatingo nėra dviese. Kauliukų skaičiumi, kurį mes apsvarstėme, nėra nieko ypatingo. Jei mes riedėtume n kauliukus, tada laukiamas bet kurio iš šešių galimų rezultatų skaičius n/6. Šį numerį verta žinoti, nes jis suteikia mums pagrindą, kurį turime naudoti apklausdami kitų pateiktus pasiūlymus.

Pvz., Jei mes žaidžiame melagio kauliuką su šešiais kauliukais, tikėtina bet kurios iš reikšmių nuo 1 iki 6 reikšmė yra 6/6 = 1. Tai reiškia, kad turėtume būti skeptiški, jei kas nors siūlytų daugiau nei vieną iš bet kokių verčių. Ilgainiui mes įvertintume vieną iš visų galimų verčių.

Tarkime, kad mesime penkis kauliukus ir norime surasti dviejų trejetuko pasukimo tikimybę. Tikimybė, kad miršta trys, yra 1/6. Tikimybė, kad miršta ne trys, yra 5/6. Šių kauliukų ritinėliai yra nepriklausomi įvykiai, todėl tikimybes kartu padauginame iš daugybos taisyklė.

Tikimybė, kad pirmieji du kauliukai yra treji, o kiti - ne trys, yra šis produktas:

(1/6) x (1/6) x (5/6) x (5/6) x (5/6)

Pirmieji du kauliukai, kurie yra treji, yra tik viena galimybė. Kauliukai, kurie yra trys, gali būti bet kurie iš penkių kauliukų, kuriuos sukame. Mes pažymime štampą, kuris nėra trijų dalių po *. Yra du būdai, kaip turėti du trečdalius iš penkių ritinių:

• 3, 3, *, * ,*
• 3, *, 3, * ,*
• 3, *, * ,3 ,*
• 3, *, *, *, 3
• *, 3, 3, *, *
• *, 3, *, 3, *
• *, 3, *, *, 3
• *, *, 3, 3, *
• *, *, 3, *, 3
• *, *, *, 3, 3

Matome, kad yra dešimt būdų, kaip išmesti tiksliai du trečdalius iš penkių kauliukų.

Dabar mes padidiname savo tikimybę iš 10 būdų, kaip mums gali būti tokia kauliukų konfigūracija. Rezultatas yra 10 x (1/6) x (1/6) x (5/6) x (5/6) x (5/6) = 1250/7776. Tai sudaro maždaug 16%.

Dabar apibendriname aukščiau pateiktą pavyzdį. Mes atsižvelgiame į riedėjimo tikimybę n kauliukus ir gaunant tiksliai k kurie turi tam tikrą vertę.

Kaip ir anksčiau, tikimybė pasukti skaičių, kurio norime, yra 1/6. Tikimybė, kad šis skaičius nebus pažymėtas, nurodoma papildymo taisyklė kaip 5/6. Mes norime k iš mūsų kauliukų, kad būtų pasirinktas skaičius. Tai reiškia, kad n - k yra ne tas skaičius, kurio norime. Pirmojo tikimybė k kauliukai yra tam tikras skaičius su kitais kaulikais, o ne šis skaičius yra:

(1/6)^k(5/6)^{n - k}

Būtų sudėtinga, jau neminint daug laiko, išvardyti visus įmanomus būdus, kaip sukti tam tikrą konfigūracijos kauliuką. Štai kodėl geriau naudoti mūsų skaičiavimo principus. Per šias strategijas matome, kad skaičiuojame deriniai.

Yra C (n, k) susukimo būdai k tam tikro tipo kauliukų iš n kauliukai. Šis skaičius pateikiamas pagal formulę n!/(k!(n - k)!)

Viską sudėjus, mes matome, kad susukame n kauliukai, tikimybė, kad tiksliai k iš jų yra konkretus skaičius, pateiktas pagal formulę:

[n!/(k!(n - k)!)] (1/6)^{k(5/6)n - k}

Yra dar vienas būdas apsvarstyti tokio tipo problemas. Tai apima dvinaris skirstinys su sėkmės tikimybe, kurią suteikia p = 1/6. Tiksli formulė k kai šie kauliukai yra tam tikras skaičius, jie žinomi kaip binomio masės tikimybės funkcija paskirstymas.

Kita situacija, į kurią turėtume atsižvelgti, yra bent tam tikro skaičiaus tam tikros vertės riedėjimo tikimybė. Pvz., Kai numetame penkis kauliukus, kokia tikimybė sukti bent tris? Galėtume susukti tris, keturis ar penkis. Norėdami nustatyti tikimybę, kurią norime rasti, sudedame tris tikimybes.

Žemiau pateikiame tikimybių lentelę tiksliai gauti k tam tikros vertės, kai sukame penkis kauliukus.

Toliau mes apsvarstysime šią lentelę. Tai suteikia tikimybę sukti bent tam tikrą vertės skaičių, kai mes suksime iš viso penkis kauliukus. Matome, kad nors labai tikėtina, kad suks bent vieną 2, tai nėra tokia tikėtina, kad sukti bent keturi 2.