Dviejų dimensijų kinematika: judesys plokštumoje

Šiame straipsnyje aprašomos pagrindinės sąvokos, reikalingos analizuoti objektų judesius dviem aspektais, neatsižvelgiant į jėgas, sukeliančias pagreitį. Šios rūšies problemos pavyzdys gali būti mesti kamuolį arba šaudyti iš patrankos sviedinio. Tai reiškia, kad esate susipažinęs su vienmatė kinematika, nes išplečia tas pačias sąvokas į dvimatę vektorinę erdvę.

Kinematika apima poslinkį, greitį ir pagreitį vektorių kiekiai kuriems reikia ir masto, ir krypties. Todėl, norėdami išspręsti dvimatės kinematikos problemą, pirmiausia turite apibrėžti koordinačių sistema jūs naudojate. Paprastai tai bus: x-aksis ir a y-aksis, orientuotas taip, kad judesys vyktų teigiama linkme, nors gali būti tam tikrų aplinkybių, kai tai nėra geriausias metodas.

Tais atvejais, kai svarstoma apie gravitaciją, įprasta nustatyti neigiamą gravitacijos kryptį -y kryptis. Tai yra praktika, kuri paprastai supaprastina problemą, nors, jei tikrai norite, skaičiavimus būtų galima atlikti skirtinga orientacija.

Padėties vektorius r yra vektorius, einantis nuo koordinačių sistemos ištakų iki tam tikro sistemos taško. Padėties pokytis (Δr, tariama „Delta r") yra skirtumas tarp pradžios taško (r₁) iki galutinio taško (r₂). Mes apibrėžiame vidutinis greitis (v_av) kaip:

v_av = (r₂ - r₁) / (t₂ - t₁) = Δr/Δt

Paimant ribą kaip Δt artėja prie 0, mes pasiekiame momentinis greitisv. Skaičiuojant, tai yra išvestinė iš r su pagarba t, arba dr/dt.

Mažėjant laiko skirtumui, pradžios ir pabaigos taškai artėja. Nuo krypties r yra ta pati kryptis kaip v, tampa aišku, kad momentinis greičio vektorius kiekviename kelio taške yra kelio liestinė.

Naudingas vektorių dydžių bruožas yra tas, kad juos galima suskaidyti į jų komponentinius vektorius. Vektoriaus darinys yra jo komponentų darinių suma, todėl:

v_x = dx/dt
v_y = dy/dt

Greičio vektoriaus dydį pateikia Pitagoro teorema tokia forma:

|v| = v = sqrt (v_x² + v_y²)

Kryptis v yra orientuota alfa laipsnių prieš laikrodžio rodyklę nuo x-komponentas ir gali būti apskaičiuotas pagal šią lygtį:

įdegis alfa = v_y / v_x

Pagreitis yra greičio pokytis per tam tikrą laiką. Panašiai kaip ir aukščiau pateiktoje analizėje, pastebime, kad tai Δv/Δt. Šio kaip Δ ribat artėjant prie 0, gaunamas išvestinis v su pagarba t.

Kalbant apie komponentus, pagreičio vektorius gali būti parašytas taip:

a_x = dv_x/dt
a_y = dv_y/dt

arba

a_x = d²x/dt²
a_y = d²y/dt²

Didumas ir kampas (žymimas kaip beta atskirti nuo alfa) grynojo pagreičio vektoriaus yra apskaičiuojami naudojant komponentus panašiai kaip greičio.

Dažniausiai dvimatė kinematika apima atitinkamų vektorių suskaidymą į juos x- ir y-komponentai, tada analizuodami kiekvieną iš komponentų, tarsi jie būtų vienos dimensijos atvejai. Atlikus šią analizę, greičio ir (arba) pagreičio sudedamosios dalys vėl sujungiamos, kad gautų dvimačius greičio ir (arba) pagreičio vektorius.

Aukščiau pateiktas lygtis galima išplėsti judėjimui trimis matmenimis pridedant a z- analizės komponentas. Paprastai tai gana intuityvu, nors reikia atsargiai įsitikinti, kad tai daroma tinkamu formatu, ypač apskaičiuojant vektoriaus orientacijos kampą.

Redaguota Anne Marie Helmenstine, Ph.