Įprasti nesuskaičiuojamų rinkinių pavyzdžiai

Ne visi begaliniai rinkiniai yra vienodi. Vienas iš būdų atskirti šiuos rinkinius yra paklausti, ar rinkinys yra skaičiuojamas begalinis arba ne. Tokiu būdu sakome, kad begaliniai rinkiniai yra arba suskaičiuojami, arba neskaičiuojami. Mes apsvarstysime keletą begalinių rinkinių pavyzdžių ir nustatysime, kurie iš jų yra nesuskaičiuojami.

Pirmiausia atmesime kelis begalinių rinkinių pavyzdžius. Daugelis begalinių rinkinių, apie kuriuos mes iškart pagalvosime, yra paskaičiuojami kaip begaliniai. Tai reiškia, kad juos galima susieti su vienas su kitu natūraliaisiais skaičiais.

Natūralieji skaičiai, sveikieji skaičiai ir racionalieji skaičiai yra neabejotinai begaliniai. Bet kuri nesuskaičiuojamai begalinių aibių sąjunga ar sankirta taip pat yra skaičiuojama. Dekartazės produktas, susietas su bet kokiu skaičiuojamų rinkinių skaičiumi. Bet kuris skaičiuojamo rinkinio pogrupis taip pat yra skaičiuojamas.

Dažniausiai neskaičiuojami rinkiniai įvedami atsižvelgiant į intervalą (0, 1)

Visas realiųjų skaičių rinkinys taip pat neskaičiuojamas. Vienas iš būdų tai parodyti yra naudoti funkciją „vienas su vienu“ f ( x ) = įdegis x. Šios funkcijos sritis yra intervalas (-π / 2, π / 2), neskaičiuojamas rinkinys, o diapazonas yra visų realiųjų skaičių aibė.

Pagrindinės aibės teorijos operacijos gali būti panaudotos norint sukurti daugiau nesąžiningai begalinių aibių pavyzdžių:

• Jei A yra B ir A yra nesuskaičiuojamas, tada taip yra B. Tai yra aiškesnis įrodymas, kad visas realiųjų skaičių rinkinys yra neskaičiuojamas.
• Jei A yra nesuskaičiuojamas ir B yra bet koks rinkinys, tada sąjunga A U B taip pat yra nesuskaičiuojamas.
• Jei A yra nesuskaičiuojamas ir B yra bet koks rinkinys, tada Dekarto produktas A x B taip pat yra nesuskaičiuojamas.
• Jei A yra begalinis (net neskaičiuojamai begalinis), tada galios rinkinys apie A yra nesuskaičiuojamas.

Kiti du vienas su kitu susiję pavyzdžiai šiek tiek stebina. Ne kiekvienas realiųjų skaičių pogrupis yra neapsakomai begalinis (tiesa, racionalieji skaičiai sudaro neskaičiuojamą realių skaičių pogrupį, kuris taip pat yra tankus). Kai kurie pogrupiai yra nesąžiningai begaliniai.

Vienas iš šių nenusakomai begalinių pogrupių apima tam tikrus dešimtainio didinimo tipus. Jei pasirenkame du skaitmenis ir suformuojame kiekvieną galimą dešimtainį išplėtimą tik su šiais dviem skaitmenimis, tada gauta begalinė aibė yra neskaičiuojama.

Kitas rinkinys yra sudėtingiau sukonstruotas ir taip pat yra neskaičiuojamas. Pradėkite nuo uždaro intervalo [0,1]. Pašalinkite vidurinį šio rinkinio trečdalį, gaudami [0, 1/3] U [2/3, 1]. Dabar nuimkite kiekvieno likusio rinkinio gabalo vidurinį trečdalį. Taigi (1/9, 2/9) ir (7/9, 8/9) pašalinami. Mes tęsiame tokiu būdu. Taškų, likusių pašalinus visus šiuos intervalus, rinkinys nėra intervalas, tačiau jis yra nesąžiningai begalinis. Šis rinkinys vadinamas kantorių rinkiniu.

Yra be galo daug nesuskaičiuojamų rinkinių, tačiau aukščiau pateikti pavyzdžiai yra keli dažniausiai sutinkami rinkiniai.