Kokia tikėtinos vertės tikimybė?

Jūs esate karnavale ir matote žaidimą. Už 2 USD jūs sukate standartinį šešiabriaunį štampą. Jei rodomas skaičius yra šeši, laimi 10 USD, priešingu atveju nieko nelaimi. Jei bandai užsidirbti pinigų, ar tau įdomu žaisti žaidimą? Norint atsakyti į tokį klausimą, mums reikia numatomos vertės sąvokos.

Laukiamą vertę tikrai galima laikyti atsitiktinio kintamojo vidurkiu. Tai reiškia, kad jei pakartotinai ir vėl atlikote tikimybės eksperimentą, stebėdami rezultatus, laukiama vertė yra vidutinis visų gautų verčių. Laukiama vertė yra tai, ko turėtumėte numatyti įvykstant ilgainiui daugeliui azartinių žaidimų bandymų.

Aukščiau paminėtas karnavalo žaidimas yra diskretaus atsitiktinio kintamojo pavyzdys. Kintamasis nėra tęstinis ir kiekvienas rezultatas mus pasiekia tokiu skaičiumi, kurį galima atskirti nuo kitų. Norėdami sužinoti laukiamą žaidimo, turinčio rezultatus, vertę x₁, x₂,..., x_n su tikimybėmis p₁, p₂,... , p_n, apskaičiuoti:

x₁p₁ + x₂p₂ +... + x_np_n.

Aukščiau pateiktame žaidime jūs turite 5/6 tikimybės, kad nieko nepralošite. Šio rezultato vertė yra -2, nes žaidimui išleidote 2 USD. Šešis turi 1/6 tikimybę pasirodyti, o šios vertės rezultatas yra 8. Kodėl 8, o ne 10? Vėlgi turime atsiskaityti už 2 USD, kuriuos sumokėjome už žaidimą, ir 10 - 2 = 8.

Dabar prijunkite šias vertes ir tikimybes prie numatomos vertės formulė ir galų gale: -2 (5/6) + 8 (1/6) = -1/3. Tai reiškia, kad ilgainiui turėtumėte tikėtis prarasti vidutiniškai apie 33 centus kiekvieną kartą žaisdami šį žaidimą. Taip, jūs kartais laimėsite. Bet jūs prarasite dažniau.

Dabar tarkime, kad karnavalo žaidimas buvo šiek tiek pakeistas. Už tą patį 2 USD įėjimo mokestį, jei rodomas skaičius yra šeši, laimi 12 USD, priešingu atveju nieko nelaimi. Laukiama šio žaidimo vertė yra -2 (5/6) + 10 (1/6) = 0. Ilgainiui neprarasite pinigų, bet ir neišlošite. Nesitikėkite, kad pamatysite žaidimą su šiais numeriais vietiniame karnavale. Jei ilgainiui neprarasite pinigų, tada karnavalas jų nepadarys.

Dabar kreipkitės į kazino. Panašiai kaip ir anksčiau, mes galime apskaičiuoti numatomą azartinių žaidimų, tokių kaip ruletė, vertę. JAV ruletės ratuke yra 38 sunumeruoti tarpsniai nuo 1 iki 36, 0 ir 00. Pusė 1-36 yra raudonos, pusė juodos. Tiek 0, tiek 00 yra žali. Rutulys atsitiktinai patenka į vieną iš laiko tarpsnių, o statymai statomi ten, kur kamuolys nusileis.

Vienas paprasčiausių statymų yra lažintis ant raudonos spalvos. Jei lažinsitės 1 USD ir kamuolys nusileis ant raudono skaičiaus ratu, tada jūs laimėsite 2 USD. Jei kamuolys nusileidžia ant juodos arba žalios vietos rate, tada nieko nelaimi. Kokia tikėtina tokio lažybų, kaip šio, vertė? Kadangi yra 18 raudonų vietų, yra 18/38 tikimybė laimėti, o grynasis pelnas yra 1 USD. Yra tikimybė, kad prarasite savo pradinį 1 USD statymą 20/38. Laukiama šio laželio vertė eurais ruletė yra 1 (18/38) + (-1) (20/38) = -2/38, tai yra apie 5,3 cento. Čia namas turi nedidelį kraštą (kaip ir visi kazino žaidimai).

Kaip kitą pavyzdį apsvarstykite a loterija. Nors už 1 USD bilieto kainą galima laimėti milijonus, tikėtina loterijos žaidimo vertė parodo, kaip nesąžiningai jis pastatytas. Tarkime, kad už 1 USD pasirenkate šešis skaičius nuo 1 iki 48. Tikimybė teisingai pasirinkti visus šešis skaičius yra 1/12 271 512. Jei laimėsite milijoną dolerių už tai, kad visi šeši bus teisingi, kokia tikėtina šios loterijos vertė? Galimos vertės yra: 1 USD už pralaimėjimą ir 999 999 USD už pergalę (vėlgi turime atsiskaityti už žaidimo išlaidas ir atimti tai iš laimėjimo). Tai suteikia mums laukiamą vertę:

(-1)(12,271,511/12,271,512) + (999,999)(1/12,271,512) = -.918

Taigi, jei jūs loštumėte loteriją ne kartą, ilgainiui prarandate apie 92 centus - beveik visą savo bilieto kainą - kiekvieną kartą žaisdami.

Visi aukščiau pateikti pavyzdžiai yra atskiri atsitiktinis kintamasis. Tačiau galima apibrėžti ir nenutrūkstamo atsitiktinio kintamojo vertę. Viskas, ką šiuo atveju turime padaryti, yra pakeisti apibendrinimą mūsų formulėje integralu.

Svarbu atsiminti, kad laukiama vertė yra vidutinė po daugelio a bandymų atsitiktinis procesas. Trumpuoju laikotarpiu atsitiktinio kintamojo vidurkis gali smarkiai skirtis nuo tikėtinos vertės.