Skaičiavimo problemų iššūkių sprendimai

Skaičiuoti gali atrodyti kaip lengva užduotis. Toliau gilindamiesi į matematika žinomas kaip kombinatorika, suprantame, kad susiduriame su daugybe žmonių. Nuo faktorinis rodoma taip dažnai, o skaičius, pavyzdžiui, 10! yra didesnis nei trys milijonas, problemų skaičiavimas gali būti labai sudėtingas, jei bandysime išvardyti visas galimybes.

Kartais, kai apsvarstome visas galimybes, kurias gali panaudoti mūsų skaičiavimo problemos, lengviau apgalvoti pagrindinius problemos principus. Ši strategija gali užtrukti daug mažiau laiko, nei bandyti brutalią jėgą išvardyti daugybę deriniai ar permutacijos.

Klausimas "Keliais būdais ką nors galima padaryti?" yra visiškai kitas klausimas nei „Kokie būdai kad kažkas gali būti padaryta? “Šią idėją pamatysime dar toliau pateikdami iššūkių skaičiavimo rinkinį problemos.

Šis klausimų rinkinys apima žodį TRIANGELIS. Atminkite, kad iš viso yra aštuonios raidės. Leiskite suprasti, kad balsių žodžio TRIANGLE yra AEI, o žodžio TRIANGLE priebalsiai yra LGNRT. Prieš pradėdami skaityti tikrąjį iššūkį, patikrinkite šių problemų versiją be sprendimų.

1. Kiek būdų galima išdėstyti žodžio TRIANGLE raides?
   Sprendimas: Čia iš viso yra aštuoni pirmosios raidės pasirinkimai, septyni - antra, šeši - trečia ir t. Daugybos principu dauginame iš viso 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 8! = 40 320 įvairių būdų.
2. Keliais būdais galima išdėstyti žodžio TRIANGLE raides, jei pirmosios trys raidės turi būti RAN (ta pačia tvarka)?
   Sprendimas: Mums buvo parinktos trys pirmosios raidės, paliekant penkias raides. Po RAN turime penkis kitos raidės pasirinkimus, po kurių eina keturi, tada trys, tada du, tada vienas. Padauginimo principu yra 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 5! = 120 būdų, kaip išdėstyti raides nurodytu būdu.
3. Keliais būdais galima išdėstyti žodžio TRIANGLE raides, jei pirmosios trys raidės turi būti RAN (bet kokia tvarka)?
   Sprendimas: Pažvelkite į tai kaip į dvi savarankiškas užduotis: pirmoji susideda iš raidžių RAN, o antroji sudaro kitas penkias raides. Yra 3! = 6 RAN išdėstymo būdai ir 5! Būdai išdėstyti kitas penkias raides. Taigi iš viso yra 3! x 5! = 720 būdų išdėstyti trikampio raides kaip nurodyta.
4. Keliais būdais galima išdėstyti žodžio TRIANGLE raides, jei pirmosios trys raidės turi būti RAN (bet kokia tvarka), o paskutinė raidė turi būti balsė?
   Sprendimas: Pažvelkite į tai kaip į tris užduotis: pirmoji susideda iš raidžių RAN, antroji pasirenka po vieną balsį iš I ir E, o trečioji sudaro kitas keturias raides. Yra 3! = 6 būdai išdėstyti RAN, 2 būdai pasirinkti balsę iš likusių raidžių ir 4! Būdai išdėstyti kitas keturias raides. Taigi iš viso yra 3! X 2 x 4! = 288 būdai išdėstyti trikampio raides kaip nurodyta.
5. Kiek būdų galima išdėstyti žodžio TRIANGLE raides, jei pirmosios trys raidės turi būti RAN (bet kokia tvarka), o kitos trys raidės turi būti TRI (bet kokia tvarka)?
   Sprendimas: Vėlgi, mes turime tris užduotis: pirmoji sudėlioti raides RAN, antroji sutvarkyti raides TRI, o trečioji sudėlioti kitas dvi raides. Yra 3! = 6 RAN išdėstymo būdai, 3! būdai sutvarkyti TRI ir du būdai išdėstyti kitus laiškus. Taigi iš viso yra 3! x 3! X 2 = 72 būdai, kaip išdėstyti trikampio raides, kaip nurodyta.
6. Kuo įvairiais būdais galima išdėstyti žodžio TRIANGLE raides, jei negalima pakeisti balsių IAE tvarkos ir išdėstymo?
   Sprendimas: Trys balsiai turi būti laikomi ta pačia tvarka. Dabar iš viso yra penki priebalsiai, kuriuos reikia išdėstyti. Tai galima padaryti per 5! = 120 būdų.
7. Kiek skirtingais būdais galima išdėstyti žodžio TRIANGLE raides, jei balsių eiliškumas IAE negali gali būti pakeistas, nors jų išdėstymas gali būti priimtinas (IAETRNGL ir TRIANGEL yra priimtini, tačiau EIATRNGL ir TRIENGLA yra ne)?
   Sprendimas: Tai geriausia apgalvoti dviem etapais. Pirmas žingsnis yra pasirinkti vietas, kuriomis eina balsės. Mes renkamės tris vietas iš aštuonių, o tvarka, kurią mes darome, nėra svarbi. Tai yra derinys ir yra iš viso C(8,3) = 56 būdai, kaip atlikti šį veiksmą. Likusios penkios raidės gali būti išdėstytos 5! = 120 būdų. Tai iš viso suteikia 56 x 120 = 6720 išdėstymą.
8. Kuo įvairiais būdais galima išdėstyti žodžio TRIANGLE raides, jei galima pakeisti balsių IAE eiliškumą, nors jų išdėstymo taip ir nėra?
   Sprendimas: Tai tikrai tas pats, kas pirmiau Nr. 4, tačiau skirtingomis raidėmis. Mes išdėstome tris raides iš 3! = 6 būdai ir kitos penkios raidės iš 5! = 120 būdų. Bendras būdų išdėstymas yra 6 x 120 = 720.
9. Kiek skirtingais būdais galima išdėstyti šešias žodžio TRIANGLE raides?
   Sprendimas: Kadangi mes kalbame apie susitarimą, tai yra permutacija ir jų yra iš viso P( 8, 6) = 8!/2! = 20 160 būdų.
10. Kiek skirtingais būdais galima išdėstyti šešias žodžio TRIANGLE raides, jei turi būti vienodas balsių ir priebalsių skaičius?
    Sprendimas: Yra tik vienas būdas pasirinkti balses, kurias ketiname išdėstyti. Priebalsių pasirinkimas gali būti atliktas C(5, 3) = 10 būdų. Tada yra 6! būdai išdėstyti šešias raides. Padauginkite šiuos skaičius kartu, kad gautumėte 7200.
11. Kiek skirtingais būdais galima išdėstyti šešias žodžio TRIANGLE raides, jei turi būti bent vienas priebalsis?
    Sprendimas: Kiekvienas šešių raidžių išdėstymas atitinka sąlygas, taigi yra P(8, 6) = 20 160 būdų.
12. Kiek skirtingais būdais galima išdėstyti šešias žodžio TRIANGLE raides, jei balsės turi kaitaliotis su priebalsiais?
    Sprendimas: Yra dvi galimybės: pirmoji raidė yra balsė arba pirmoji raidė yra priebalsis. Jei pirmoji raidė yra balsė, mes turime tris pasirinkimus, po to einame priebalsio penkis, du už antrą balsį, keturis už antrąjį priebalsį, vieną už paskutinį balsį ir tris už paskutinį priebalsį. Padauginame tai, kad gautume 3 x 5 x 2 x 4 x 1 x 3 = 360. Pagal simetrijos argumentus yra toks pat skaičius susitarimų, kurie prasideda priebalsiu. Iš viso tai sudaro 720 susitarimų.
13. Kiek skirtingų keturių raidžių rinkinių gali būti suformuota iš žodžio TRIANGLE?
    Sprendimas: Kadangi mes kalbame apie a rinkinys keturių raidžių iš visų aštuonių raidžių tvarka nėra svarbi. Turime apskaičiuoti derinį C(8, 4) = 70.
14. Kiek skirtingų keturių raidžių rinkinių gali būti suformuota iš žodžio TRIANGLE, kuriame yra du balsiai ir du priebalsiai?
    Sprendimas: Čia mes formuojame savo rinkinį dviem etapais. Yra C(3, 2) = 3 būdai, kaip pasirinkti dvi balses iš viso 3. Yra C(5, 2) = 10 būdų, kaip pasirinkti priebalses iš penkių galimų. Iš viso galima gauti 3x10 = 30 rinkinių.
15. Kiek skirtingų keturių raidžių rinkinių gali būti suformuota iš žodžio TRIANGLE, jei norime bent vienos balsės?
    Sprendimas: Tai galima apskaičiuoti taip:

• Komplektų skaičius iš keturių su viena balsine yra C(3, 1) x C( 5, 3) = 30.
• Komplektų skaičius iš keturių su dviem balsėmis yra C(3, 2) x C( 5, 2) = 30.
• Komplektų skaičius iš keturių su trim balsėmis yra C(3, 3) x C( 5, 1) = 5.

Iš viso gaunami 65 skirtingi rinkiniai. Arba mes galime apskaičiuoti, kad yra 70 būdų, kaip sudaryti bet kurių keturių raidžių rinkinį ir atimti C(5, 4) = 5 būdai, kaip gauti rinkinį be balsių.