Kas yra tikimybės aksiomos?

Viena iš matematikos strategijų yra pradėti nuo kelių teiginių, tada iš šių teiginių sukurti daugiau matematikos. Pradiniai teiginiai yra žinomi kaip aksiomos. Paprastai aksioma yra matematiškai savaime suprantama. Iš palyginti trumpo aksiomų sąrašo dedukcinė logika naudojama įrodyti kitus teiginius, vadinamus teoremomis ar teiginiais.

Matematikos sritis, vadinama tikimybe, nesiskiria. Tikimybę galima sumažinti iki trijų aksiomų. Pirmiausia tai padarė matematikas Andrejus Kolmogorovas. Daugybė aksiomų, kurios yra pagrindinė tikimybė, gali būti panaudotos visiems išvadoms rūšiuoja rezultatų. Bet kas yra šios tikimybės aksiomos?

Norėdami suprasti tikimybės aksiomas, pirmiausia turime aptarti keletą pagrindinių apibrėžimų. Manome, kad turime rezultatų, vadinamų pavyzdžių erdve, rinkinį S. Ši pavyzdinė erdvė gali būti laikoma universalia situacijos, kurią tiriame, visuma. Imties erdvę sudaro pogrupiai, vadinami įvykiais E₁, E₂,..., E_n.

Mes taip pat darome prielaidą, kad yra būdas priskirti bet kokio įvykio tikimybę

Pirmoji tikimybės aksioma yra ta, kad bet kurio įvykio tikimybė yra neigiamas realusis skaičius. Tai reiškia, kad mažiausia, kokia tikimybė kada nors gali būti, yra lygi nuliui ir ji negali būti begalinė. Skaičių rinkinys, kurį galime naudoti, yra realieji skaičiai. Tai reiškia tiek racionalius skaičius, dar žinomus kaip trupmenas, tiek neracionalius skaičius, kurių negalima parašyti kaip trupmenas.

Reikia atkreipti dėmesį į tai, kad ši aksioma nieko nesako apie tai, kokia didelė gali būti įvykio tikimybė. Aksioma pašalina neigiamų tikimybių galimybę. Tai atspindi nuostatą, kad mažiausia tikimybė, rezervuota neįmanomiems įvykiams, yra lygi nuliui.

Antroji tikimybės aksioma yra ta, kad visos mėginio vietos tikimybė yra viena. Simboliškai rašome P(S) = 1. Į šią aksiomą įsivaizduojama nuostata, kad mėginio erdvė yra viskas, kas įmanoma mūsų tikimybės eksperimentui, ir kad už mėginio vietos nėra jokių įvykių.

Pati savaime ši aksioma nenustato viršutinės įvykių, kurie nėra visos imties erdvės, tikimybės ribos. Tai atspindi tai, kad kažkas visiškai užtikrintai turi 100% tikimybę.

Trečioji tikimybės aksioma susijusi su vienas kitą paneigiančiais įvykiais. Jei E₁ ir E₂ yra vienas kitą paneigiantys, tai reiškia, kad jų sankryža yra tuščia ir tada jungtį žymime U, tada P(E₁ U E₂ ) = P(E₁) + P(E₂).

Aksioma iš tikrųjų apima situaciją keliais (net neabejotinai begaliniais) įvykiais, kurių kiekviena pora yra viena kitą paneigianti. Kol tai vyksta, sąjungos tikimybė įvykių yra tas pats kaip tikimybių suma:

P(E₁ U E₂ U... U E_n ) = P(E₁) + P(E₂) +... + E_n

Nors ši trečioji aksioma gali pasirodyti ne tokia naudinga, pamatysime, kad kartu su kitomis dviem aksiomomis ji yra gana galinga.

Trys aksiomos nustato viršutinę bet kurio įvykio tikimybės ribą. Mes pažymime renginio papildymą E autorius E^C. Remiantis nustatyta teorija, E ir E^C turi tuščią sankryžą ir yra viena kitos nesuderinamos. Be to E U E^C = S, visa mėginio vieta.

Šie faktai kartu su aksiomomis suteikia mums:

1 = P(S) = P(E U E^C) = P(E) + P(E^C) .

Mes pertvarkome aukščiau pateiktą lygtį ir pamatome P(E) = 1 - P(E^C). Kadangi žinome, kad tikimybės turi būti neigiamos, dabar turime bet kokią įvykio tikimybės viršutinę ribą 1.

Vėl pertvarkydami formulę, mes turime P(E^C) = 1 - P(E). Iš šios formulės taip pat galime padaryti išvadą, kad įvykio neįvykimo tikimybė yra viena atėmus tikimybę, kad jis įvyks.

Aukščiau pateikta lygtis taip pat suteikia mums galimybę apskaičiuoti neįmanomo įvykio tikimybę, žymimą tuščia aibė. Norėdami tai pamatyti, prisiminkite, kad šiuo atveju tuščias rinkinys yra universaliojo rinkinio papildymas S^C. Nuo 1 = P(S) + P(S^C) = 1 + P(S^C), pagal algebrą, kurią turime P(S^C) = 0.

Aukščiau yra tik keletas savybių, kurias galima įrodyti tiesiogiai iš aksiomų, pavyzdžių. Yra daug daugiau rezultatų tikimybė. Bet visos šios teoremos yra loginiai pratęsimai iš trijų tikimybės aksiomų.