Kai susiduriama su rinkinio teorija, norint atlikti naujus rinkinius iš senų, reikia atlikti daugybę operacijų. Viena iš dažniausiai pasitaikančių operacijų vadinama sankryža. Paprasčiau tariant, dviejų rinkinių sankirta A ir B yra visų elementų, kurie abu yra, rinkinys A ir B turi bendro.
Mes pažvelgsime į detalių, susijusių su sankryža, nustatytą teoriją. Kaip matysime, svarbiausias žodis čia yra žodis „ir“.
Pavyzdys
Dviejų aibių sankirtos pavyzdžio pavyzdys: a naujas rinkinys, apsvarstykime rinkinius A = {1, 2, 3, 4, 5} ir B = {3, 4, 5, 6, 7, 8}. Norėdami rasti šių dviejų aibių sankirtą, turime išsiaiškinti, kokius elementus jie turi bendro. Skaičiai 3, 4, 5 yra abiejų aibių elementai, todėl A ir B yra {3. 4. 5].
Žymėjimas sankirtoje
Svarbu ne tik suprasti sąvokas, susijusias su nustatytomis teorijos operacijomis, bet ir mokėti skaityti simbolius, naudojamus šioms operacijoms žymėti. Sankryžos simbolis kartais pakeičiamas žodžiu „ir“ tarp dviejų rinkinių. Šis žodis rodo kompaktiškesnį žymėjimą, kuris paprastai naudojamas.
Simbolis, naudojamas dviejų rinkinių sankirtoje A ir B yra suteikta A ∩ B. Vienas iš būdų atsiminti, kad šis simbolis ∩ reiškia susikirtimą, yra pastebėti jo panašumą į didžiąją raidę A, trumpą žodį „ir“.
Norėdami pamatyti šį žymėjimą veikdami, grįžkite į aukščiau pateiktą pavyzdį. Čia mes turėjome rinkinius A = {1, 2, 3, 4, 5} ir B = {3, 4, 5, 6, 7, 8}. Taigi parašytume lygtį A ∩ B = {3, 4, 5}.
Susikirtimas su tuščiu rinkiniu
Viena pagrindinė tapatybė, apimanti sankryžą, parodo mums, kas nutinka, kai imame bet kurio rinkinio sankirtą su tuščiu rinkiniu, žymimu # 8709. Tuščias rinkinys yra rinkinys, kuriame nėra elementų. Jei bent viename rinkinyje, kuriame bandome rasti sankirtą, nėra elementų, tada abu rinkiniai neturi bendrų elementų. Kitaip tariant, bet kurio rinkinio sankirta su tuščias rinkinys duos mums tuščią rinkinį.
Naudojant mūsų žymėjimą, ši tapatybė tampa dar kompaktiškesnė. Mes turime tapatybę: A ∩ ∅ = ∅.
Sankryža su universaliu komplektu
Kitas kraštutinumas - kas atsitiks, kai išnagrinėsime rinkinio sankirtą su universaliu rinkiniu? Panašus į tai, kaip žodis visata yra naudojamas astronomijoje reikšti viską, visuotiniame rinkinyje yra kiekvienas elementas. Darytina išvada, kad kiekvienas mūsų rinkinio elementas yra ir universaliojo rinkinio elementas. Taigi bet kurio rinkinio sankirta su universalia aibe yra aibė, kurią mes pradėjome.
Vėlgi mūsų noras gelbėti, kad būtų trumpiau išreikšta ši tapatybė. Bet kokiam rinkiniui A ir universalus rinkinys U, A ∩ U = A.
Kitos tapatybės, susijusios su sankryža
Yra dar daugiau nustatytų lygčių, naudojančių sankryžos operaciją. Aišku, visada gera praktika vartojant aibės teorijos kalbą. Visiems rinkiniams Air B ir D mes turime:
- Refleksinis turtas: A ∩ A =A
- Komutacinis turtas: A ∩ B = B ∩ A
- Asociacinis turtas: (A ∩ B) ∩ D =A ∩ (B ∩ D)
- Paskirstomasis turtas: (A ∪ B) ∩ D = (A ∩ D)∪ (B ∩ D)
- „DeMorgan“ įstatymas I: (A ∩ B)C = AC ∪ BC
- „DeMorgan's Law II“: (A ∪ B)C = AC ∩ BC