Kuo skiriasi deriniai ir permutacijos

Visoje matematikoje ir statistikoje turime žinoti, kaip skaičiuoti. Tai ypač pasakytina apie kai kuriuos tikimybė problemos. Tarkime, kad mums duota iš viso n atskiri objektai ir norima pasirinkti r jų. Tai tiesiogiai liečia matematikos sritį, vadinamą kombinatorika, tai yra skaičiavimo tyrimas. Du pagrindiniai būdai juos suskaičiuoti r objektai iš n elementai vadinami permutacijomis ir deriniais. Šios sąvokos yra glaudžiai susijusios ir lengvai painiojamos.

Kuo skiriasi derinys ir permutacija? Pagrindinė idėja yra tvarkos. Permutacija atkreipia dėmesį į tvarką, pagal kurią mes pasirenkame savo objektus. Tas pats objektų rinkinys, tačiau paimtas skirtinga tvarka suteiks mums skirtingas permutacijas. Su deriniu mes vis tiek pasirenkame r objektai iš viso n, tačiau įsakymas nebelaikomas.

Norėdami atskirti šias idėjas, nagrinėsime šį pavyzdį: kiek yra permutacijų iš dviejų raidžių iš aibės {a, b, c}?

Čia pateikiame visų elementų porų iš duoto rinkinio sąrašą, atkreipdami dėmesį į užsakymą. Iš viso yra šešios permutacijos. Visų šių sąrašą sudaro: ab, ba, bc, cb, ac ir ca. Atminkite, kad tai yra permutacijos

Dabar atsakysime į šį klausimą: kiek yra kombinacijų iš dviejų raidžių iš rinkinio {a, b, c}?

Kadangi mes užsiimame deriniais, mums nebeįdomi tvarka. Šią problemą galime išspręsti, žiūrėdami į permutacijas ir pašalindami tuos, kurie apima tas pačias raides. Kaip derinius, ab ir ba yra laikomos vienodomis. Taigi yra tik trys deriniai: ab, ac ir bc.

Tais atvejais, kai susiduriame su didesniais rinkiniais, išvardyti visus galimus permutacijas ar derinius ir suskaičiuoti galutinį rezultatą yra per daug laiko. Laimei, yra formulių, kurios suteikia mums permutacijų ar derinių skaičių n paimti daiktai r tuo momentu.

Šiose formulėse mes naudojame sutrumpintą žymėjimą n! paskambino nfaktorinis. Faktorija tiesiog sako, kad visi teigiami sveikieji skaičiai turi būti padauginti iš mažesnių arba lygus n kartu. Taigi, pavyzdžiui, 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24. Pagal apibrėžimą 0! = 1.

Permutacijų skaičius n paimti daiktai r vienu metu yra pateikiama pagal formulę:

P(n,r) = n!/(n - r)!

Derinių skaičius n paimti daiktai r vienu metu yra pateikiama pagal formulę:

C(n,r) = n!/[r!(n - r)!]

Pažiūrėkime į pradinį pavyzdį, jei norite pamatyti formules darbe. Trijų objektų, perimtų du vienu metu, rinkinio permutacijų skaičius pateikiamas P(3,2) = 3!/(3 - 2)! = 6/1 = 6. Tai tiksliai atitinka tai, ką mes gavome išvardydami visas permutacijas.

Trijų objektų, sudarytų iš dviejų vienu metu, rinkinių kombinacijų skaičius pateikiamas taip:

C(3,2) = 3!/[2!(3-2)!] = 6/2 = 3. Tai vėlgi atitinka tai, ką matėme anksčiau.

Formulės neabejotinai taupo laiką, kai mūsų paprašoma rasti didesnio rinkinio permutacijų skaičių. Pavyzdžiui, kiek permutacijų yra iš dešimties objektų, imamų po tris vienu metu, rinkinį? Reikėtų šiek tiek laiko išvardyti visas permutacijas, tačiau naudodami formules matome, kad būtų:

P(10,3) = 10!/(10-3)! = 10!/7! = 10 x 9 x 8 = 720 permutacijų.

Kuo skiriasi permutacijos ir deriniai? Esmė ta, kad skaičiuojant su užsakymu susijusias situacijas, turėtų būti naudojamos permutacijos. Jei užsakymas nėra svarbus, tuomet reikėtų naudoti derinius.