Trijų kauliukų riedėjimo tikimybės

Kauliukai pateikia puikias iliustracijas sąvokos tikimybėje. Dažniausiai naudojami kauliukai yra kubeliai, turintys šešias puses. Čia pamatysime, kaip apskaičiuoti trijų standartinių kauliukų sukimo tikimybes. Tai yra gana standartinė problema apskaičiuoti sumos, gautos ridendamas du kauliukus. Iš viso yra 36 skirtingi ritiniai, turintys du kauliukus, su bet kuria suma nuo 2 iki 12.Kaip keičiasi problema, jei pridedame daugiau kauliukų?

Lygiai taip, kaip vienas mirti turi šešis rezultatus, o du kauliukai - 6² = 36 rezultatai, trijų kauliukų sukimosi tikimybės eksperimentas turi 6³ = 216 rezultatai. Ši idėja dar labiau apibendrina, kad būtų daugiau kauliukų. Jei susukame n kauliukai, tada yra 6ⁿ rezultatus.

Taip pat galime apsvarstyti galimas sumas, išmetus kelis kauliukus. Mažiausia įmanoma suma susidaro, kai visi kauliukai yra mažiausi arba po vieną. Kai gauname tris kauliukus, gauname trijų sumą. Didžiausias skaičius štampuose yra šeši, o tai reiškia, kad didžiausia įmanoma suma susidaro, kai visi trys kauliukai yra šeši. Šios situacijos suma yra 18.

Kada n kauliukai sukti, kuo mažesnė suma n ir didžiausia įmanoma suma yra 6n.

• Yra vienas galimas būdas, kai trys kauliukai gali sudaryti iš viso 3
• 3 būdai 4
• 6 už 5
• 10 už 6
• 15 už 7
• 21 už 8
• 25 už 9
• 27 už 10
• 27 už 11
• 25 už 12
• 21 už 13
• 15 už 14
• 10 už 15
• 6 už 16
• 3 už 17
• 1 už 18

Kaip aptarta aukščiau, į tris kauliukus įmanomos sumos apima kiekvieną skaičių nuo trijų iki 18. Tikimybes galima apskaičiuoti naudojant: skaičiavimo strategijas ir pripažindami, kad ieškome būdų, kaip padalinti skaičių į tiksliai tris sveikus skaičius. Pavyzdžiui, vienintelis būdas gauti trijų sumą yra 3 = 1 + 1 + 1. Kadangi kiekvienas štampas yra nepriklausomas nuo kitų, tokią sumą kaip keturios galima gauti trimis skirtingais būdais:

• 1 + 1 + 2
• 1 + 2 + 1
• 2 + 1 + 1

Tolesni skaičiavimo argumentai gali būti naudojami norint surasti kitų sumų sudarymo būdų skaičių. Kiekvienos sumos skaidiniai išdėstomi taip:

• 3 = 1 + 1 + 1
• 4 = 1 + 1 + 2
• 5 = 1 + 1 + 3 = 2 + 2 + 1
• 6 = 1 + 1 + 4 = 1 + 2 + 3 = 2 + 2 + 2
• 7 = 1 + 1 + 5 = 2 + 2 + 3 = 3 + 3 + 1 = 1 + 2 + 4
• 8 = 1 + 1 + 6 = 2 + 3 + 3 = 4 + 3 + 1 = 1 + 2 + 5 = 2 + 2 + 4
• 9 = 6 + 2 + 1 = 4 + 3 + 2 = 3 + 3 + 3 = 2 + 2 + 5 = 1 + 3 + 5 = 1 + 4 + 4
• 10 = 6 + 3 + 1 = 6 + 2 + 2 = 5 + 3 + 2 = 4 + 4 + 2 = 4 + 3 + 3 = 1 + 4 + 5
• 11 = 6 + 4 + 1 = 1 + 5 + 5 = 5 + 4 + 2 = 3 + 3 + 5 = 4 + 3 + 4 = 6 + 3 + 2
• 12 = 6 + 5 + 1 = 4 + 3 + 5 = 4 + 4 + 4 = 5 + 2 + 5 = 6 + 4 + 2 = 6 + 3 + 3
• 13 = 6 + 6 + 1 = 5 + 4 + 4 = 3 + 4 + 6 = 6 + 5 + 2 = 5 + 5 + 3
• 14 = 6 + 6 + 2 = 5 + 5 + 4 = 4 + 4 + 6 = 6 + 5 + 3
• 15 = 6 + 6 + 3 = 6 + 5 + 4 = 5 + 5 + 5
• 16 = 6 + 6 + 4 = 5 + 5 + 6
• 17 = 6 + 6 + 5
• 18 = 6 + 6 + 6

Kai skaidinį sudaro trys skirtingi skaičiai, pavyzdžiui, 7 = 1 + 2 + 4, yra 3! (3x2x1) skirtingais būdais permirkęs šie skaičiai. Taigi tai būtų atsižvelgiama į tris rezultatus pavyzdžių erdvėje. Kai skaidinį sudaro du skirtingi skaičiai, tada yra trys skirtingi šių skaičių išlaikymo būdai.

Bendrą kiekvienos sumos gavimo būdų skaičių mes padalijame iš bendro rezultatų skaičiaus mėginio vieta, arba 216. Rezultatai:

• 3: 1/216 = 0,5% sumos tikimybė
• Tikimybė, kad suma bus 4: 3/216 = 1,4%
• 5: 6/216 = 2,8% sumos tikimybė
• 6: 10/216 = 4,6% sumos tikimybė
• 7 sumos tikimybė: 15/216 = 7,0%
• Tikimybė, kad suma bus 8: 21/216 = 9,7%
• Tikimybė, kad suma bus 9: 25/216 = 11,6%
• Tikimybė, kad suma bus 10: 27/216 = 12,5%
• Tikimybė, kad suma bus 11: 27/216 = 12,5%
• 12 sumos tikimybė: 25/216 = 11,6%
• 13 sumos tikimybė: 21/216 = 9,7%
• Tikimybė, kad suma bus 14: 15/216 = 7,0%
• Tikimybė, kad suma bus 15: 10/216 = 4,6%
• 16: 6/216 = 2,8% sumos tikimybė
• Tikimybė, kad suma bus 17: 3/216 = 1,4%
• 18 sumos tikimybė: 1/216 = 0,5%

Kaip matyti, kraštutinės 3 ir 18 vertės yra mažiausiai tikėtinos. Sumos, kurios yra tiksliai viduryje, yra labiausiai tikėtinos. Tai atitinka tai, kas buvo pastebėta sukant du kauliukus.