Vienas populiarių būdų tikimybei tirti yra kauliukų metimas. Standartinis štampas turi šešias puses, atspausdintas su mažais taškais, numeriais 1, 2, 3, 4, 5 ir 6. Jei mirsime sąžiningai (ir mes tai padarysime) manyti kad visi jie yra), tada visi šie rezultatai yra vienodai tikėtini. Kadangi yra šeši galimi rezultatai, tikimybė gauti bet kurią štampo pusę yra 1/6. Apsukimo a 1 tikimybė yra 1/6, riedėjimo 2 tikimybė yra 1/6 ir pan. Bet kas atsitiks, jei pridėsime dar vieną štampą? Kokia tikimybė, kad bus išmestas du kauliukai?
Kauliukų ritinio tikimybė
Norėdami teisingai nustatyti kauliuko metimo tikimybę, turime žinoti du dalykus:
- Dydis mėginio vieta arba visų galimų rezultatų rinkinys
- Kaip dažnai įvykis įvyksta
Į tikimybė, įvykis yra tam tikras pavyzdinės erdvės pogrupis. Pvz., Kai valcuotas tik vienas štampas, kaip aukščiau pateiktame pavyzdyje, mėginio plotas lygus visoms štampo arba rinkinio vertėms (1, 2, 3, 4, 5, 6). Kadangi štampas yra teisingas, kiekvienas rinkinio numeris įvyksta tik vieną kartą. Kitaip tariant, kiekvieno skaičiaus dažnis yra 1. Norėdami nustatyti bet kurio iš skaičių ant stulpelio sukimosi tikimybę, įvykio dažnį (1) padalijame iš mėginio vietos (6) dydžio, gaudami 1/6 tikimybę.
Dviejų sąžiningų kauliukų sukimas daugiau nei dvigubina sunkumų apskaičiavimą. Taip yra todėl, kad vieno štampo valcavimas nepriklauso nuo antrojo riedėjimo. Vienas ritinys neturi jokios įtakos kitam. Kai kalbame apie nepriklausomus įvykius, mes naudojame daugybos taisyklė. Medžio schemos naudojimas parodo, kad išmetus du kauliukus yra 6 x 6 = 36 galimi rezultatai.
Tarkime, kad pirmasis metamas metalas yra 1. Kitas štampo ritinys gali būti 1, 2, 3, 4, 5 arba 6. Dabar tarkime, kad pirmasis štampas yra 2. Kitas štampo ritinys vėl gali būti 1, 2, 3, 4, 5 arba 6. Mes jau nustatėme 12 galimų rezultatų ir dar neišnaudojome visų pirmosios mirties priežasčių.
Dviejų kauliukų valcavimo tikimybių lentelė
Galimi dviejų kauliukų ridenimo rezultatai pateikti žemiau esančioje lentelėje. Atkreipkite dėmesį, kad visų galimų rezultatų skaičius yra lygus pirmojo štampo mėginio plotui (6). padauginta pagal antrosios štampo mėginio plotą (6), kuris yra 36.
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | |
| 1 | (1, 1) | (1, 2) | (1, 3) | (1, 4) | (1, 5) | (1, 6) |
| 2 | (2, 1) | (2, 2) | (2, 3) | (2, 4) | (2, 5) | (2, 6) |
| 3 | (3, 1) | (3, 2) | (3, 3) | (3, 4) | (3, 5) | (3, 6) |
| 4 | (4, 1) | (4, 2) | (4, 3) | (4, 4) | (4, 5) | (4, 6) |
| 5 | (5, 1) | (5, 2) | (5, 3) | (5, 4) | (5, 5) | (5, 6) |
| 6 | (6, 1) | (6, 2) | (6, 3) | (6, 4) | (6, 5) | (6, 6) |
Trys ar daugiau kauliukų
Tas pats principas galioja ir dirbant problemos, susijusios su trim kauliukais. Padauginame ir matome, kad yra 6 x 6 x 6 = 216 galimi rezultatai. Kadangi kartoti daugybę sudėtinga, mes galime naudoti eksponentus, kad palengvintume darbą. Už du kauliukus yra 62 galimi rezultatai. Trims kauliukams yra 63 galimi rezultatai. Apskritai, jei susukame n kauliukai, tada iš viso yra 6n galimi rezultatai.
Imties problemos
Turėdami šias žinias galime išspręsti įvairiausias tikimybių problemas:
1. Valcuojami du šešių pusių kauliukai. Kokia tikimybė, kad dviejų kauliukų suma yra septyni?
Lengviausias būdas išspręsti šią problemą yra aukščiau pateiktoje lentelėje. Jūs pastebėsite, kad kiekvienoje eilutėje yra vienas kauliuko ritinys, kuriame dviejų kauliukų suma yra lygi septynioms. Kadangi yra šešios eilutės, yra šeši galimi rezultatai, kai dviejų kauliukų suma lygi septynioms. Bendras galimų rezultatų skaičius išlieka 36. Vėlgi, mes nustatome tikimybę padalijant įvykio dažnį (6) iš imties vietos (36) dydžio, gaunant 1/6 tikimybę.
2. Valcuojami du šešių pusių kauliukai. Kokia tikimybė, kad suma iš dviejų kauliukų yra trys?
Ankstesnėje problemoje galbūt pastebėjote, kad ląstelės, kuriose dviejų kauliukų suma lygi septynioms, sudaro įstrižainę. Tas pats pasakytina ir čia, išskyrus tai, kad yra tik dvi ląstelės, kuriose kauliukų suma yra trys. Taip yra todėl, kad yra tik du būdai, kaip pasiekti tokį rezultatą. Turite sukti 1 ir 2 arba 2 ir 1. Septynių sumų skaičiavimo deriniai yra daug didesni (1 ir 6, 2 ir 5, 3 ir 4 ir t. T.). Norėdami sužinoti tikimybę, kad dviejų kauliukų suma yra trys, įvykio dažnį (2) galime padalyti iš imties vietos (36) dydžio, gaudami 1/18 tikimybę.
3. Valcuojami du šešių pusių kauliukai. Kokia tikimybė, kad skaičiai ant kauliuko skiriasi?
Vėlgi, šią problemą galime lengvai išspręsti, naudodamiesi aukščiau pateikta lentele. Pastebėsite, kad ląstelės, kuriose kauliukų skaičiai yra vienodi, sudaro įstrižainę. Jų yra tik šeši, o juos išbraukę turime likusias ląsteles, kuriose kauliukų numeriai skiriasi. Galime paimti derinių skaičių (30) ir padalyti jį iš mėginio vietos dydžio (36), taip gaunant 5/6 tikimybę.