Vektorinė matematika: pagrindinis, bet išsamus įvadas

Tai yra pagrindinis, nors, tikiuosi, gana išsamus įvadas į darbą su vektoriais. Vektoriai pasireiškia įvairiais būdais - nuo poslinkio, greičio ir pagreičio iki jėgų ir laukų. Šis straipsnis yra skirtas vektorių matematikai; jų taikymas konkrečiose situacijose bus nagrinėjamas kitur.

A vektoriaus kiekis, arba vektorius, pateikiama informacija apie ne tik dydį, bet ir kiekio kryptį. Pateikiant nurodymus namui neužtenka pasakyti, kad jis yra 10 mylių, tačiau taip pat turi būti nurodyta tų 10 mylių kryptis, kad informacija būtų naudinga. Kintamieji, kurie yra vektoriai, bus žymimi paryškintuoju šriftu, nors įprasta matyti vektorius, žymimus mažomis rodyklėmis virš kintamojo.

Kaip mes nesakome, kad kitas namas yra -10 mylių atstumu, vektoriaus dydis visada yra teigiamas skaičius arba veikiau vektoriaus „ilgio“ absoliuti vertė (nors dydis gali būti ne ilgis, tai gali būti greitis, pagreitis, jėga ir tt). Neigiamas priešais vektorių nerodo dydžio pasikeitimo, o greičiau vektorius.

Aukščiau pateiktuose pavyzdžiuose atstumas yra skaliarinis dydis (10 mylių), bet poslinkis yra vektoriaus kiekis (10 mylių į šiaurės rytus). Lygiai taip pat greitis yra skaliarinis dydis, o greitis yra a vektorius kiekis.

A vieneto vektorius yra vektorius, kurio dydis yra vienas. Vektorius, vaizduojantis vienetinį vektorių, taip pat paprastai yra paryškintas, nors jis turės karatą (^) virš jo nurodyti kintamojo vienetinį pobūdį. Vieneto vektorius x, kai rašoma su karatais, paprastai skaitoma kaip „x-hat“, nes karatas kintamojo pavidalu atrodo tarsi skrybėlė.

nulis vektoriaus, arba nulis vektorius, yra nulio dydžio vektorius. Jis parašytas taip 0 šiame straipsnyje.

Vektoriai paprastai orientuojami į koordinačių sistemą, iš kurių populiariausia yra dvimatė Dekarto plokštuma. Dekarto plokštuma turi horizontalią ašį, pažymėtą x, ir vertikalią ašį, pažymėtą y. Kai kurie pažangūs vektorių pritaikymai fizikoje reikalauja naudoti trimatę erdvę, kurios ašys yra x, y ir z. Šiame straipsnyje daugiausia bus kalbama apie dvimatę sistemą, tačiau sąvokas galima atsargiai išplėsti iki trijų dimensijų be per daug problemų.

Įvairių matmenų koordinačių sistemų vektoriai gali būti suskaidyti į juos komponentų vektoriai. Dviejų matmenų atveju tai lemia x-komponentas ir a y komponentas. Skirstant vektorių į jo komponentus, vektorius yra komponentų suma:

F = F_x + F_y

tetaF_xF_yF

F_x / F = cos teta ir F_y / F = nuodėmė tetakuri suteikia mums
F_x = F cos teta ir F_y = F nuodėmė teta

Atminkite, kad skaičiai čia yra vektorių didumai. Mes žinome komponentų kryptį, tačiau bandome surasti jų dydį, todėl pašaliname krypties informaciją ir atliekame šiuos skaliarinius skaičiavimus, kad išsiaiškintume dydį. Tolesnis trigonometrijos taikymas gali būti naudojamas norint rasti kitus ryšius (pvz., Liestinę), susijusius su kai kuriais iš šių dydžių, bet manau, kad to dabar užtenka.

Daugelį metų vienintelė matematika, kurios mokosi studentas, yra skaliarinė matematika. Jei nuvažiavote 5 myles į šiaurę ir 5 myles į rytus, nuvažiavote 10 mylių. Pridėjus skaliarinius kiekius, nepaisoma visos informacijos apie kryptis.

Vektoriais manipuliuojama šiek tiek skirtingai. Manipuliuodami visada turite atsižvelgti į kryptį.

Kai pridedate du vektorius, atrodo, kad jūs paėmėte vektorius ir įdėjote juos nuo galo iki galo ir sukūrėte naują vektorių, einantį nuo pradžios taško iki pabaigos taško. Jei vektoriai turi tą pačią kryptį, tai reiškia tik pridėti didumus, bet jei jie turi skirtingas puses, tai gali tapti sudėtingesnė.

Jūs pridedate vektorius, suskaidydami juos į jų komponentus ir pridėdami komponentus, kaip nurodyta toliau:

a + b = c
a_x + a_y + b_x + b_y =
( a_x + b_x) + ( a_y + b_y) = c_x + c_y

Du x komponentai sudarys naujojo kintamojo x komponentą, o du y komponentai - naujo kintamojo y komponentą.

Nesvarbu, kokia tvarka pridėsite vektorius. Tiesą sakant, vektorių pridėjimui tinka kelios skaliarinio pridėjimo savybės:

Taikomosios vektoriaus papildymo savybės
a + 0 = a
Atvirkštinė vektoriaus papildymo savybė
a + -a = a - a = 0
Šviesos atspindėjimo savybė
a = a
Komutacinis turtas iš vektoriaus papildymo
a + b = b + a
Asociacinė vektoriaus papildymo savybė
(a + b) + c = a + (b + c)
Pereinamojo laikotarpio vektoriaus papildymo savybė
Jei a = b ir c = b, tada a = c

Paprasčiausia operacija, kurią galima atlikti su vektoriu, yra padauginti iš skalės. Šis skaliarinis dauginimas keičia vektoriaus dydį. Kitaip tariant, tai padaro vektorių ilgesnį ar trumpesnį.

Padauginus neigiamą skaliarą, gautas vektorius bus nukreiptas priešinga kryptimi.

skaliarinis produktas dviejų vektorių yra būdas padauginti juos iš skalės. Tai parašyta kaip dviejų vektorių daugyba, viduryje esantis taškas, reiškiantis daugybą. Iš esmės ji dažnai vadinama taškinis produktas iš dviejų vektorių.

Norėdami apskaičiuoti dviejų vektorių taškinį sandaugą, atsižvelkite į kampą tarp jų. Kitaip tariant, jei jie turėtų tą patį pradinį tašką, koks būtų kampo matavimas (teta) tarp jų. Taškinis produktas apibūdinamas kaip:

a * b = ab cos teta

ababba

Tais atvejais, kai vektoriai yra statmeni (arba teta = 90 laipsnių), cos teta bus lygus nuliui. Todėl, statmenų vektorių taškinis sandauga visada yra lygi nuliui. Kai vektoriai yra lygiagrečiai (arba teta = 0 laipsnių), cos teta yra 1, taigi skaliarinis sandauga yra tik dydžių sandauga.

Šie tvarkingi faktai gali būti panaudoti įrodant, kad žinodami komponentus, teta poreikį galite visiškai pašalinti naudodamiesi (dviejų dimensijų) lygtimi:

a * b = a_x b_x + a_y b_y

vektorinis produktas yra parašyta forma a x b, ir paprastai vadinama kryžminis produktas iš dviejų vektorių. Tokiu atveju mes dauginame vektorius ir užuot gavę skaliarinį dydį, gausime vektoriaus kiekį. Tai yra pats sudėtingiausias vektorinis skaičiavimas, su kuriuo susidursime ne komutacinis ir apima baimės vartojimą dešinės rankos taisyklė, į kurį pateksiu netrukus.

Vėlgi, mes manome, kad du vektoriai, nupiešti iš to paties taško, su kampu teta tarp jų. Mes visada atsižvelgiame į mažiausią kampą, taigi teta visada bus intervale nuo 0 iki 180, todėl rezultatas niekada nebus neigiamas. Gauto vektoriaus dydis nustatomas taip:

Jei c = a x b, tada c = ab nuodėmė teta

Lygiagrečių (arba antiparallelių) vektorių vektorinis produktas visada yra lygus nuliui

Vektoriaus sandauga bus statmena plokštumai, sukurtai iš šių dviejų vektorių. Jei nuotrauką plokštumoje vaizduojate lygiai ant stalo, kyla klausimas, ar susidarys vektorius aukštyn (mūsų „iš stalo“, žvelgiant iš mūsų perspektyvos) arba žemyn (arba „į“ stalą, iš mūsų perspektyva).

Norėdami tai išsiaiškinti, turite pritaikyti tai, kas vadinama dešinės rankos taisyklė. Kai mokykloje mokiausi fizikos, aš niekinamas dešinės rankos taisyklė. Kiekvieną kartą naudodamasi turėjau išsitraukti knygą, norėdama sužinoti, kaip ji veikia. Tikiuosi, kad mano aprašymas bus šiek tiek intuityvesnis nei tas, su kuriuo buvau supažindintas.

Jei turite a x b uždėsite savo dešinę ranką išilgai b kad jūsų pirštai (išskyrus nykštį) galėtų kreivai nukreipti į galą a. Kitaip tariant, jūs tarsi bandote sudaryti kampą teta tarp delno ir keturių dešinės rankos pirštų. Nykštis tokiu atveju bus prilipęs tiesiai aukštyn (arba už ekrano, jei bandysite tai padaryti iki kompiuterio). Jūsų žnyplės bus apytiksliai išdėstytos atsižvelgiant į dviejų vektorių pradinį tašką. Tikslumas nėra būtinas, tačiau noriu, kad jums kiltų mintis, nes aš neturiu to paveikslo, kurį galėčiau pateikti.

Jei vis dėlto svarstote b x a, darysite priešingai. Jūs užmesite savo dešinę ranką a ir nukreipkite pirštus į priekį b. Jei bandysite tai padaryti kompiuterio ekrane, jums bus neįmanoma, todėl pasitelkite savo fantaziją. Jūs pastebėsite, kad tokiu atveju jūsų vaizduotės nykštis nukreiptas į kompiuterio ekraną. Tai yra gauto vektoriaus kryptis.

Dešinės rankos taisyklė parodo šiuos santykius:

a x b = - b x a

kabina

c_x = a_y b_z - a_z b_y
c_y = a_z b_x - a_x b_z
c_z = a_x b_y - a_y b_x

abc_xc_yc

Aukštesniame lygyje su vektoriais dirbti gali būti labai sudėtinga. Ištisi universitetiniai kursai, tokie kaip linijinė algebra, daug laiko skiria matricoms (kurių maloniai vengiau šiame įvade), vektoriams ir vektorinės erdvės. Šis išsamumo lygis nepatenka į šio straipsnio taikymo sritį, tačiau tai turėtų suteikti pagrindus, reikalingus daugumai manipuliavimo vektoriais, kurie atliekami fizikos klasėje, pagrindų. Jei ketinate giliau studijuoti fiziką, mokydamiesi būsite supažindinti su sudėtingesnėmis vektorių sąvokomis.